Question

Надо. буду ! lim x--> к бесконечности 4n+1/2n+3=2

Answer 1

Lim4n+1/2n+3=[бесконечность/бесконечность]=lim(4n/n+1/n)/(2n/n+3/n)=lim4/2=lim2=2
Под лимитами x--> к бесконечности

Answer 2

$\left|\frac{4n+1}{2n+3}-2\right|=\left|\frac{4n+1-4n-6}{2n+3}\right|=\left|\frac{-5}{2n+3}\right|=\frac{5}{|2n+3|}\leq\frac{5}{2n}$

Для любого $\epsilon\ \textgreater \ 0$ существует $n_0:=\left[\frac{5}{2\epsilon}\right]+1$ такой, что для любого $n\ \textgreater \ n_0$ получаем:
$\left|\frac{4n+1}{2n+3}-2\right|\leq\left|\frac{5}{2n}\right|\leq\left|\frac{5}{2n_0}\right|=\epsilon$

Итого, получаем:
$\forall \epsilon\ \textgreater \ 0\ \exists n_0\in\mathbb{N}:\forall n\ \textgreater \ n_0\ \left|\frac{4n+1}{2n+3}-2\right|\ \textless \ \epsilon$

Следовательно, $\lim_{n\to\infty}\frac{4n+1}{2n+3}=2$