Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin α.
Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos α.

Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg α.
Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg α.
Синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла.
Правила:
Катет b, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α:
b = c · sin α
Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению гипотенузы на cos α:
a = c · cos α
Катет b, противоположный углу α, равен произведению второго катета на tg α:
b = a · tg α
Катет a, прилежащий к углу α, равен произведению второго катета на ctg α:
a = b · ctg α
Основные тригонометрические тождества в прямоугольном треугольнике:
(α – острый угол, противолежащий катету b и прилежащий к катету a. Сторона с – гипотенуза. β – второй острый угол).
b
sin α = —
c
sin2 α + cos2 α = 1
α + β = 90˚
a
cos α = —
c
1
1 + tg2 α = ——
cos2 α
cos α = sin β
b
tg α = —
a
1
1 + ctg2 α = ——
sin2 α
sin α = cos β
a
ctg α = —
b
1 1
1 + —— = ——
tg2 α sin2 α
tg α = ctg β
sin α
tg α = ——
cos α
При возрастании острого угла sin α и tg α возрастают, а cos α убывает.
Для любого острого угла α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Пример-пояснение:
Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.
Выясним синус угла А и косинус угла В.

Решение.
1) Сначала находим величину угла В. Тут все так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:
В = 90º – 30º = 60º.
2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:
BC 3 1
sin A = —— = — = —
AB 6 2
3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:
BC 3 1
cos B = —— = — = —
AB 6 2
В итоге получается:
sin A = cos B = 1/2.
Или:
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла – и наоборот. Именно это и означают наши две формулы:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Убедимся в этом еще раз:
1) Пусть α = 60º. Подставив значение α в формулу синуса, получим:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Пусть α = 30º. Подставив значение α в формулу косинуса, получим:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(Подробнее о тригонометрии - см.раздел Алгебра)
Главная
Физика
Химия
Алгебра
Геометрия
История России
Русский язык
Литература
Таблицы
Тесты (проверь себя)
Полезные
Задачи на производительность
Через один кран в цистерну поступает 15 л молока в минуту. Через другой кран – 17 л в минуту. Сколько литров молока будет в цистерне через 45 минут, если открыты оба крана?
Один трубоукладчик прокладывает 24 м труб в час. Другой 32 м труб в час. Сколько метров труб уложат обе машины за 6 часов, работая одновременно?
Один мастер ремонтирует 20 пар обуви в день. Другой – 18 пар обуви в день. Сколько пар обуви отремонтируют оба мастера за 4 дня?
На первой скорости станок изготавливает 200 деталей в час. На второй скорости 260 деталей в час. Станок работал 2 ч на первой скорости и 3 ч на второй. Сколько деталей было изготовлено за это время?
Станок штампует 1000 пластиковых тарелок в час. На новом станке стали выпускать на 600 тарелок в час больше. Сколько тарелок выпустят на новом станке за 8-часовой рабочий день?
Два корректора должны прочесть 720 страниц рукописи за 5 дней. Один корректор прочитывает 64 страницы в день. Сколько страниц в день должен читать второй корректор, чтобы закончить рукописи в срок?
Через кран с горячей водой наливается 10 л в минуту, а через кран с холодной водой – 8 л в минуту. Сколько нужно времени, чтобы наполнить ванну, которая вмещает 360 литров?
Незалежно від того, в якій сфері митець займається творчістю, в своїх роботах він узагальнює явища повсякденного життя народу, створює характерні образи та виявляє ставлення до них самого автора та оточуючого суспільства. Значення творчості діячів культури виявляється у тому, наскільки реалістично виражене життя нашого народу, його інтереси, прагнення і мрії. Культура повинна служити людям незалежно від становища в суспільстві та стану в державі. Саме так і є, бо завдяки культурній спадщині та культурній діяльності наших сучасників ми дізнаємося про минуле і сучасне, бачимо мрії наших предків та мрії сьогодення. Завдяки культурі в нашій уяві формуються найбільш вірні поняття, а в душах зароджуються незнані до цього часу почуття. Саме твори культури людина сприймає спочатку серцем, а вже потім розумом.
Національна українська культура з давніх-давен формувалася і ґрунтувалася на принципах гуманізму, на вічних загальнолюдських цінностях, саме цим вона й сьогодні вкрай необхідна людям. Митці минулого та сучасні діячі культури у своїй творчості відображають різні верстви наших співвітчизників, розкривають їх таланти, любов до праці та боротьбу за незалежність. Своїми роботами вони прищеплюють інтерес молоді до історії власного народу, історії формування нашої країни, вчать любити рідну землю, поважати та любити батьків, близьких, ставитися с повагою до інших людей та до інших народів. Крім того, культура спроможна підтримати людей у тяжкі часи їх життя, надихає на подвиги заради країни та заради інших, додає сил у доланні життєвих перешкод і вказує вірний шлях до рішення важливих проблем. Цим культура і цінна для нашого народу, цим вона цінна особисто для кожного з нас.
Можна мати високий матеріальний достаток, але при цьому бути нещасним та не прийматися суспільством, тому що людина, яка прагне до заможності, перш за все повинна знати та розуміти культурні традиції свого народу, розуміти та поважати найвидатніші пам’ятки української культури, підтримувати її розвиток та вносити посильний внесок до створення культурної спадщини для наших нащадків. Тільки така людина, буде вона заможна чи бідна, має право вважатися повноправним членом нашого суспільства.