Question

При каком значении параметра а вектор q(-1; 0; а) является собственным вектором линейного оператора а, заданного матрицей а=(4 4 -6 ; 3 2 -3 ; 3 4 -5). найти собственное значение оператора а, соответствующее данному вектору.

Answer 1

$A=\left(\begin{matrix} 4&4&-6\\ 3&2&-3\\ 3&4&-5\\ \end{matrix}\right)\quad \bar{q}=\left(\begin{matrix} -1\\ 0\\ a \end{matrix}\right)\\ \bar q\neq \bar0$ - собственный вектор А, если $A\bar q=\lambda\bar q\\$

$\left(\begin{matrix} 4&4&-6\\ 3&2&-3\\ 3&4&-5\\ \end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix} -1\\ 0\\ a \end{matrix}\right)=\lambda\left(\begin{matrix} -1\\ 0\\ a \end{matrix}\right)\Rightarrow\\\Rightarrow\left(\begin{matrix} 4\cdot(-1)+4\cdot0+(-6)\cdot a\\ 3\cdot(-1)+2\cdot0+(-3)\cdot a\\3\cdot(-1)+4\cdot0+(-5)\cdot a \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} -\lambda\\ 0\\ \lambda a \end{matrix}\right)\Rightarrow$

$\Rightarrow\left(\begin{matrix} -6a-4\\ -3a-3\\-5a-3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} -\lambda\\ 0\\ \lambda a \end{matrix}\right)\\\left\{\begin{matrix}-6a-4=-\lambda\\ -3a-3=0\\-5a-3=\lambda a\end{matrix}\right.$

Из этой системы находим значение параметра $a=-1$, при котором вектор q является собчтвенным вектором оператора А, и соответствующее ему собственное значение $\lambda =-2$