Question

Сумма кубов первых n натуральных чисел

Answer 1

$1^4=(0+1)^4=0^4+4*0^3+6*0^2+4*0+1\\ 2^4=(1+1)^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1\\ ...\\ (n+1)^4=(n+1)^4=n^4+4*n^3+6*n^2+4*n+1$

Складывая равенства, получим:

$(1^4+2^4+...+n^4)+(n+1)^4=(1^4+2^4+...+n^4)+4*(1^3+2^3+...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+...+n)+1*(n+1)\\ (n+1)^4=4*(1^3+2^3+...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+...+n)+n+1\\ 1^3+2^3+...+n^3=\dfrac{(n+1)^4-6*(1^2+2^2+...+n^2)-4*(1+2+...+n)-n-1}{4}$

Используя формулы

$1+2+...+n=\dfrac{(n+1)n}{2}\\ 1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

получим:

$1^3+2^3+...+n^3=\dfrac{(n+1)^4-6*\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4*\dfrac{(n+1)n}{2}-n-1}{4}=\\\dfrac{(n+1)^4-n(n+1)(2n+1)-2(n+1)n-n-1}{4}=\\ \dfrac{(n+1)^4-(n+1)(n(2n+1)+2n+1)}{4}=\dfrac{(n+1)^4-(n+1)(2n+1)(n+1)}{4}=\dfrac{(n+1)^2((n+1)^2-(2n+1))}{4}=\dfrac{(n+1)^2(n^2+2n+1-(2n+1))}{4}=\dfrac{(n+1)^2n^2}{4}$