Question

Четверо друзей решили подарить библиотечку детскому дому. число книг, принесенных петей, составляет половину книг, принесенных остальными . число книг, принесенных ваней, составляет одну треть от числа книг, принесенных остальными . число книг, принесенных толей, составляет четверть от числа книг, принесенных остальными . артем принес 65 книг. сколько всего книг собрали ?

Answer 1

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{1*20}{3*20} + \frac{1*15}{4*15} + \frac{1*12}{5*12} = \frac{20}{60} + \frac{15}{60} + \frac{12}{60} = \frac{47}{60}$

$\frac{1}{3}$ принес Петя

$\frac{1}{4}$ принес Ваня

$\frac{1}{5}$ принес Толя

$\frac{60}{60}- \frac{47}{60}= \frac{13}{60}$ принес Артем

$\frac{13}{60} =65$

65*60:13=3900:13=300 всего

Answer 2

Первый

Пусть Петя принес A, Ваня B, Толя C книг.
Отсюда:
A=(B+C+65)/2  -  (1)
B=(A+C+65)/3  -  (2)
C=(A+B+65)/4  -  (3)
Подставим значения (3) в уравнения (2) и (3):
A=(B+(A+B+65)/4+65)/2  -  (4)
B=(A+(A+B+65)/4+65)/3  -  (5)
Упростим (4):
A=(4B+A+B+65+260)/8
8A=4B+A+B+65+260
7A=5B+325  -  (6)
Упростим (5):
B=(4A+A+B+65+260)/12
12B=4A+A+B+65+260
11B=5A+325
B=(5A+325)/11  -  (7)
Подставим (7) в (6):
7A=(5(5A+325)/11 + 325)
7A=(25A+1625)/11 + 325
77A=25A+1625 + 3575
52A=5200
A=100
100 книг принес Петя.
Подставим значение А в (7):
B=(5*100+325)/11
B=825/11
B=75
75 книг принес Ваня.
Подставим значения A и В в (3):
C=(100+75+65)/4
C=240/4
C=60
60 книг принес Толя.
100+75+60+65=300
Петя, Ваня, Толя и Артем вместе принесли 300 книг.

Второй

Если Петя принес 1/2 часть от книг, принесенных другими ребятами, значит он принес 1/3 книг. Аналогично Ваня принес 1/4, а Толя 1/5. Получаем уравнение 1/3X+1/4X+1/5X+65=X. X-1/3X-1/4X-1/5X=65. (60-20-15-12)*X=65*60. 13X=65*60. X=5*60=300

Преобразование дробей во втором производится на основании нижеследующего доказательства.
N - общее количество книг.
A - количество учебников принесенных первым учеником.
B - количество учебников принесенных другими учениками.
A + B = N
Если первый ученик принес 1/2 часть от остальных тогда
2A = B
A + 2A = N
3A = N
A = N/3
Отсюда мы и выводим, что если ученик принес 1/X от количества учебников, принесенных другими учениками, значит он принес 1/(X+1) от количества учебников, принесенных всеми учениками.