Существуют ли такие три натуральных числа a, b и c большие 10, сумма которых является четырехзначной и при этом a^2 - 1 делится на b, b^2 - 4 делится на c, и c^2 - 9 делится на a?
A^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) делится на b b^2 - 4 = (b - 2)(b + 2) делится на с c^2 - 9 = (c - 3)(c + 3) делится на а Пусть b = a + 1, c = b + 2 = a + 3, тогда a = c - 3 Нам нужно найти такие числа а, а + 1 и а + 3, чтобы сумма была 4-значной. Подходят числа от (332, 333, 335) до (3331, 3332, 3334). Проверяем, например, a = 1000, b = 1001, c = 1003 1000^2 - 1 = 999999 = 999*1001 1001^2 - 4 = 1001997 - 4 = 1001993 = 999*1003 1003^2 - 9 = 1006009 - 9 = 1006000 = 1006*1000 a + b + c = 1000 + 1001 + 1003 = 3004 - 4-значное.
В скобки взяты одинаковые части двух последовательностей. При вычитании произведений цифр каждого числа первой последовательности из произведений цифр этого же числа второй последовательности, мы получим нуль.
Осталось перемножить все цифры оставшихся чисел первой и второй последовательности и найти разность. Произведение цифр каждого числа первой последовательности 2017, 2018, ..., 2029, 2030 равно нулю. Также равно нулю произведение цифр всех оставшихся чисел второй последовательности - 20180000, 20180001, ... , 20180013. Произведения цифр чисел равны нулю, т.к. в каждое число входит цифра 0. Следовательно, сумма всех чисел, выписанных в тетрадь Фоксом, равно нулю.
b^2 - 4 = (b - 2)(b + 2) делится на с
c^2 - 9 = (c - 3)(c + 3) делится на а
Пусть b = a + 1, c = b + 2 = a + 3, тогда a = c - 3
Нам нужно найти такие числа а, а + 1 и а + 3, чтобы сумма была 4-значной.
Подходят числа от (332, 333, 335) до (3331, 3332, 3334).
Проверяем, например, a = 1000, b = 1001, c = 1003
1000^2 - 1 = 999999 = 999*1001
1001^2 - 4 = 1001997 - 4 = 1001993 = 999*1003
1003^2 - 9 = 1006009 - 9 = 1006000 = 1006*1000
a + b + c = 1000 + 1001 + 1003 = 3004 - 4-значное.