Question

Докажите неравентво (а+1)(а+1)(а+1)(а+1)> =16abc (если а> 0,b> 0,c> 0

Answer 1

Ну, вообще, чисто теоретически, данное неравенство имеет место быть, но только при том условии, что b и c <= a;
Преобразуем немного левую часть :
$(a+1)(a+1)(a+1)(a+1) \geq 16abc$
$(a^2+2a+1)(a^2+2a+1) \geq 16abc$
$a^4+4a^3+6a^2+4a+1 \geq 16abc$

Теперь, можно попробовать подставить a=1
У нас получается 16≥16bc . При а=1: b=1; c=1 ; (Удовлетворяет b,c≤a)
При а=2 наша ситуация выглядит так :
81≥32bc. Тут уже ситуаций будет немного побольше, а именно:
$\left \{ {{b=2,c=1 } \atop {b=1,c=2 }} \right.$
Ну и так далее... В общем,
(а+1)(а+1)(а+1)(а+1)≥16abc ⇔ ∃ a,b,c>0 :  (a≥b,c) .
Надеюсь, доказал верно :D