Question

Решить уравнение с объяснением

Answer 1

Для начала заметим, что если x в левой стороне под корнем заменить подобным же выражением, повторяя и повторяя операцию (то есть положить $x=\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+...$), то получим верное равенство (конечно, нужно доказать, что ряд сходится, но этого сейчас не требуется, предположим, что это правда).

Получили задачу о нахождении числа $\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+...$;

Пусть $\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}=f,\; \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-...}}}=g$; Тогда получим систему:  $\left \{ {{\sqrt{2+g}=f} \atop {\sqrt{2-f}=g}} \right.$; Сделаем переход: $\left \{ {{f^{2}=2+g} \atop {g^{2}=2-f}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{f^{2}=2+g} \atop {f^{2}-g^2=g+f}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{f^{2}=2+g} \atop {(f+g)(f-g-1)=0}} \right. \Rightarrow f=g+1 \rightarrow f^{2}=2+f-1$; Осталось решить уравнение: $f^{2}-f-1=0$; Сделав отбор корней, получим: $f=\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$; Вспомним теперь, что $\cos36^{0}=\frac{\varphi}{2}$, откуда и следует ответ А). Но для полноты давайте докажем этот факт.

Пусть $\cos36^{0}=x$; Тогда $\cos72^{0}=2x^{2}-1$; Заметим, что $\cos36^{0}-\cos72^{0}=2\cos36^0\cos72^0$; Иными словами $x-2x^{2}+1=2x(2x^2-1) \Leftrightarrow (x+1)(4x^{2}-2x-1)=0$, опять же сделав отбор корней, приходим к требуемому