Пошаговое объяснение:
правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно правильно 1
Выражение 1)f(x)=2x+5 для дальнейших вычислений представлено в математическом виде как 1). В этом выражении необходимо правую часть перенести со знаком минус в левую часть.
y = x^2-6*x+3
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 2·x-6
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
2·x-6 = 0
Откуда:
x1 = 3
(-∞ ;3) (3; +∞)
f'(x) < 0 f'(x) > 0
функция убывает функция возрастает
В окрестности точки x = 3 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 3 - точка минимума.
y = 1/x-3
Найдем точки разрыва функции.
x1 = 0
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
или
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
1 ≠ 0
Для данного уравнения корней нет.
(-∞ ;0) (0; +∞)
f'(x) < 0 f'(x) < 0
функция убывает функция убывает
Пошаговое объяснение:
Исследование функции с производной
Определение: Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)>f(x).
Определение: Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)<f(x).
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с первой производной
Найти производную функции f′(x).
Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если на промежутке f′(x)<0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0, то на этом промежутке функция возрастает.
Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.
С приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.
ПРИМЕР №1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x3–3x2.
Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x2–6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x2–6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2
Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.
x (-∞, 0) 0 (0, 2) 2 (2, +∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) возрастает max убывает min возрастает
f(0) = 03 – 3*02 = 0
f(2) = 23 – 3*22 = -4
ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);
точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).
Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с второй производной
Найти производную f′(x).
Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0.
Найти вторую производную f″(x).
Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с первой производной.
Вычислить значения функции в точках экстремума.
Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f"(x) ≥ 0 при всех х [a, b].
Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.
ПРИМЕР №2. Исследовать на экстремум с второй производной функцию: f(x) = x2 – 2x - 3.
Решение: Находим производную: f′(x) = 2x - 2.
Решая уравнение f′(x) = 0, получим стационарную точку х=1. Найдем теперь вторую производную: f″(x) = 2.
Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f″(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: fmin = f(1) = -4.
ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).
Если что я учитель по Алгебре
