За 19 дней 24 плотника могут сделать всю работу. Значит, за 1 день они делают 1/19 часть. А каждый за 1 день делает 1/(19*24)=1/456 часть. За 8 дней 24 плотника сделали 8/19, осталось 11/19 часть работы. И плотников осталось 24-6=18. За 4 дня 18 плотников сделали 4*18/456=3/19. Осталось сделать 11/19-3/19=8/19 часть работы. И плотников осталось 18-2=16. За 1 день они сделают 16/456=2/57. А остаток 8/19 они сделают за (8/19) : (2/57) = 8/19*57/2 = 8/2*57/19 = 4*3 = 12 дней. Вся работа будет сделана за 8 + 4 + 12 = 24 дня вместо 19.
Остатки от деления числа на 9 и остаток от деления суммы цифр того же числа на 9 равны. Доказать сей факт легко. пусть есть число A = xₐxₐ₋₁...x₀, где x - цифра в его десятичной записи, тогда можем представить в виде A = xₐ * 10ᵃ + xₐ₋₁ * 10 ᵃ⁻¹ + ... ⁺ x₀ * 10⁰. Остаток деления 10 в любой степени на 9 = 1, тогда остаток деления А на 9 запишем в виде xₐ + xₐ₋₁ + ... + x₀, что и будет являться суммой цифр числа. Применяя этот факт, видим, что 2012! остаток от деления на 9 =0 , значит и все все суммы цифр, которые нужно проделать по условию будут иметь такой же остаток. Однозначное число, делящееся на 9 без остатка - 9. ответ: 9
