Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций y=x^3-x y=0

Answer 1

Точки пересечения графиков:

$y=x^3-x,\quad y=0\\x^3-x=0\\x(x^2-1)=0\\x=0,\quad x^2-1=0\\x=0,\quad x=-1,\quad x=1$

Площадь - 2 интеграла:

$S=\int\limits_{-1}^0(x^3-x-0)dx+\int\limits_{0}^1(0-(x^3-x))dx\\ \int\limits_{-1}^0(x^3-x-0)dx=\left(\frac{x^4}4-\frac{x^2}2\right)|_{-1}^0=0-0-\frac14+\frac12=\frac14\\\int\limits_{0}^1(0-(x^3-x))dx=\int\limits_{0}^1(0-x^3+x)dx=\\=\left(\frac{x^2}2-\frac{x^4}4\right)|\limits_0^1=\frac12-\frac14-0+0=\frac14\\S=\frac14+\frac14=\frac12$