ответ: (y²-C)/x²-3*y/x+2=0.
Пошаговое объяснение:
Перепишем уравнение в виде y'=(3*y-4*x)/(2*y-3*x). Разделив числитель и знаменатель правой части на x и полагая z=y/x, приходим к уравнению y'=(3*z-4)/(2*z-3). А так как y=z*x, то y'=z'*x+z, и данное уравнение принимает вид z'*x+z=(3*z-4)/(2*z-3), или z'*x=-2*(z²-3*z+2)/(2*z-3). И так как z'=dz/dx, а 2*z-3=(z²-3*z+2)', то окончательно это уравнение можно записать в виде d(z²-3*z+2)/(z²-3*z+2)=-2*dx/x. Интегрируя обе части, получаем ln/z²-3*z+2/=-2*ln/x/+ln/C/, где C - произвольная, но не равная нулю постоянная. Отсюда z²-3*z+2=C/x², или y²/x²-3*y/x+2-C/x²=(y²-C)/x²-3*y/x+2=0.
Многочлены третьей и четвёртой степеней можно разложить на множители, если множители свободного члена являются корнями уравнения, в котором многочлен приравнивается нулю.
В нашем случае такие данные:
1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 6 -6
20 0 0 32 -48 180 -100 540 0 2400.
Как видим, три множителя соответствуют корням.
Это х1= -1, х2 = 2, х3 = 6.
Далее надо делить многочлен на двучлен с одним из полученных значений. Например так:
x⁴-6x³-3x²+16x+12| (x + 1)
x⁴+x³ x³-7x²+4x+12
-7x³-3x²
-7x³-7x²
4x²+16x
4x²+4x
12x+12
12x+12
0
ответ: x⁴-6x³-3x²+16x+12 = (x-6)(x-2)(x+1)².
