Question

Решить уравнение (x^2-a^2)^2=4ax+1относительно x

Answer 1

$(x-a)^2(x+a)^2=4ax+1$

Пусть $x-a=t\Leftrightarrow x=t+a,~x+a=t+2a$

$t^2(t+2a)^2=4a(t+a)+1\\t^2(t^2+4at+4a^2)=4at+4a^2+1\\t^4+4at^3+4a^2t^2-4at-4a^2-1=0$

Сумма коэффициентов перед t равна $1+4a+4a^2-4a-4a^2-1=0$, значит, t = 1 — корень данного уравнения. Также заметим, что перед нечётными степенями t стоят противоположные коэффициенты, а остальные в сумме дают 0 — отсюда следует, что t = -1 также является корнем данного уравнения (при возведении t в чётную степень минус исчезает, а перед нечётными степенями t просто меняется знак, но так как они противоположны, они всё равно в сумме дадут 0).

Поделив левую и правую части на $t^2-1$, получим уравнение:

$t^2+4at+4a^2+1=0\\(t+2a)^2+1=0$

Оно решений не имеет. Значит,

$\displaystyle\left [ {{t=1} \atop {t=-1}} \right. \left [ {{x-a=1} \atop {x-a=-1}} \right. \left [ {{x=a+1} \atop {x=a-1}} \right.$

ответ: x = a±1

Answer 2

x = a±1

Пошаговое объяснение:

(x² - a²)²-4ax -1 =0 ⇔ $x^{4}$ +$a^{4}$ -2a²x² -4ax -1 = 0 ⇔

$x^{4}$ +$a^{4}$ + 2a²x² - ( 4a²x²+4ax +1) ⇔

(x²+a²)² - (2ax+1)² = 0 ⇔ ( x²+a²-2ax -1)·(x²+a²+2ax+1 ) = 0 ⇔

x²+a²-2ax -1 = 0  (1)  или x²+a²+2ax+1 =0 ( 2)

решим (1) :  x²+a²-2ax = 1 ⇔ (x-a)² = 1 ⇔ x - a = ±1  ⇔x = a± 1

решим (2) :  x²+a²+2ax = -1 ⇔ (x+a)² = - 1 ⇔ x∈∅

ответ : x = a± 1