Question

Решить уравнение. 2sin x+(2-√2)*cosx+√2-2=0

Answer 1

2sin^2x+(2-корень2)соsx+корень2-2=0 2-2cos^2(x)+2cosx-√2cosx+√2-2=0 -2cos^2(x)+2cosx-√2cosx+√2=0 2cos^2(x)-2cosx+√2cosx-√2=0 2cosx(cosx-1)+√2(cosx-1)=0 (cosx-1)*(2cosx+√2)=0 cosx-1=0              или        2cosx+√2=0 cosx=1                                 2cosx=-√2 x1=2pi*n, n=Z                     cosx=-√2/2                                                x2=+-arcsin(-√2/2)+2pi*n=+-(3pi/4)+2pi*n,  n=Z [5pi/2;7pi/2] 2pi*n=5pi/2    2pi*n=7pi/2 2n=5/2             2n=7/2 4n=5                4n=7 n=5/4               n=7/4 В этом промежутке первый корень не подходит, т,к, n дробное число. Рассмотрим второй корень x2=+-(3pi/4)+2pi*n 1. со знаком + 5pi/2=(3pi/4)+2pi*n 2pi*n=5pi/2+(3pi/4)=(10pi+3pi)/4=13pi/4 2n=13/4 8n=13 n=13/8 7pi/2=(3pi/4)+2pi*n 2pi*n=7pi/2-(3pi/4)=(14pi-3pi)/4=11pi/4 2n=11/4 n=11/8  -   при знаке + не подходит. 2. со знаком - -(3pi/4)+2pi*n=5pi/2 2pi*n=(5pi/2)+(3pi/4)=10pi+3pi/4=13pi/4 n=13/8 -(3pi/4)+2pi*n=7pi/2 2pi*n=7pi/2+3pi/4=14pi+3pi/4=17pi/4 n=17/8 Смотрим, как изменяется n, n1=13/8=1(4/8)=1(1/2) n2=17/8=2(1/8) Видим, что в этом промежутке n принимает целое значение 2 Ищем x=-(3pi/4)+2pi*n=-(3pi/4)+4pi=(16pi-3pi)/4=13pi/4

Answer 2

2sin²x+(2-√2)cosx+√2-2=0 2(1-cos²x)+(2-√2)cosx+√2-2=0 -2cos²x+(2-√2)cosx+√2=0 cosx=y -2y²+(2-√2)y+√2=0 D=(2-√2)²+4•2•√2=4+4√2+2=(2+√2)² y₁=-√2/2;y₂=1 1) cosx=-√2/2 x=±3π/4+2πn,n∈Z 2) cosx=1 x=2πk,k∈Z