Question

Даны координаты вершины пирамиды а1а2а3а4: a1 (3; 3; 4), a2 (6; 9; 1), a3 (1; 7; 3), a4 (8; 5; 8). найти: 1)длину ребра а1а2; 2)угол между ребрами а1а2 и а1а4; 3)угол между ребром а1а4 и гранью а1а2а3; 4)площадь грани а1а2а3; 5)объем пирамиды; 6)уравнение прямой а1а2; 7)уравнение плоскости а1а2а3; 8)уравнение высоты, опущенной из вершины а4 на грань а1а2а3. сделать чертеж

Answer 1

1) Длина ребра А1А2:
$d= \sqrt{(6-3)^2+(9-3)^2+(1-4)^2} = \sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} =$ 7.3484692.

2) Угол между ребрами А1А2 и А1А4.
Вектор А1А2: (6-3=3; 9-3=6; 1-4=-3) = (3; 6; -3).
Вектор А1А4: (8-3=5; 5-3=2; 8-4=4) = (5; 2; 4).

a · b = ax · bx + ay · by + az · bza · b = 3 · 5 + 6 · 2 + (-3) · 4 = 15 + 12 - 12 = 15
|a| = √(ax² + ay² + az²) = √(3² + 6² + (-3)²) =

= √9 + 36 + 9 = √54 = 3√6
b| = √(bx² + by² + bz²) = √(5² + 2² + 4²) =

= √(25 + 4 + 16) = √45 = 3√5
cos α = a · b|a||b|cos α = 15/3√6 · 3√5 = √30/18 ≈
 0.3042903
α = arccos 0.3042903 =  1.261603 радиан = 72.28453°.

3) Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.
Уравнение плоскости грани А1А2А3.
 Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Получаем  уравнение плоскости грани ABC:
  x -x1 -6 -12 y y1 -3 6 z z1 12 -12   6 -18     9 -27     24 -96        
 6x + 9y + 24z  - 141 = 0
После сокращения на 3:
2x + 3y + 8z  - 47 = 0.
Итак, пусть задан вектор V = (а, b, с) и плоскость А•x + В•y + C•z = 0, где А, В и C – координаты нормали N. Тогда косинус угла α между векторами V и N равен:
сos α = (а•А + b•В + с•C)/(√(а² + b² + с²)•√(А² + В² + C²)).

Чтобы вычислить величину угла в градусах или радианах, нужно от получившегося выражения рассчитать функцию, обратную к косинусу, т.е. арккосинус:α = аrссos ((а•А + b•В + с•C)/(√(а² + b² + с²)•√(А² + В² + C²))).
sin радиан градусов x y z
0.815436 0.953481 54.6304465
AS 5 2 4 0.658524 0.718855 41.1873695
BS 2 -4 7 0.619368 0.667937 38.2699774
CS 7 -2 5              
ABC 6 9 24
Угол α =  0.953481 радиан = 54.6304465°.