На доске написали 10 натуральных чисел. если отметить любые три из написанных чисел, то сумма всех трёх будет делиться на два числа из этой тройки. докажите, что среди написанных чисел есть равные.
Чтобы решить эту задачу, мы должны воспользоваться принципом Дирихле, который говорит о том, что если n+1 объектов размещаются в n ящиках, то хотя бы в одном ящике будет не менее двух объектов.
Докажем это пошагово:
1. Допустим, что все 10 чисел различны и обозначим их как a1, a2, a3, ..., a10.
2. Рассмотрим первую тройку чисел: a1, a2, a3.
3. Возможно 3 случая:
а) Сумма a1+a2 делится на одно из чисел a1, a2 или a3.
б) Сумма a1+a3 делится на одно из чисел a1, a2 или a3.
в) Сумма a2+a3 делится на одно из чисел a1, a2 или a3.
4. Рассмотрим случай а) – сумма a1+a2 делится на одно из чисел a1, a2 или a3. Здесь есть две возможности:
а1) Сумма a1+a2 делится на a1. Это означает, что есть такое натуральное k, что a1+a2=k*a1. Как следствие, a2=(k-1)*a1.
а2) Сумма a1+a2 делится на a2. Это означает, что есть такое натуральное k, что a1+a2=k*a2. Как следствие, a1=(k-1)*a2.
5. Рассмотрим случай а1. Возможны следующие случаи:
а1.1) Если k-1=1, то a1=0, что невозможно для натурального числа.
а1.2) Если k-1>2, то a2=a1/(k-1)
а1.3) Если k-1=2, то a2=a1.
6. Таким образом, из случая а1 следует, что a2=a1.
7. Рассмотрим случай b) и проведем аналогичные рассуждения на его основе. Мы придем к выводу, что a3=a1.
8. Аналогично можно провести рассуждения для оставшихся случаев, что приведет к выводу, что все числа равны между собой.
Таким образом, доказано, что если отметить любые три числа из написанных на доске, то среди этих чисел обязательно найдутся два равных числа.
