Question

Верно ли утверждение 1) число , в котором 2016 единиц и 2016 двоек, делится на 6. 2)если 15% от целого числа а - это целое число, то а делится на 20 3) если х^2= -хy, то обязательно х+y=0 4) если точка (2,3) лежит на оси параболы y=x^2+2ax-а+1, то точки (3; 0) лежит на этой параболе 5) при некотором а |2х-1|+|х-1|+|х-2|=а имеет бесконечно много решений 6) при некотором а уравнение х ^2-а=1/х имеет ровно 2 корня

Answer 1

1) Число кончается на 2, то есть четное.
Сумма цифр 2016*1 + 2016*2 = 2016*3 - делится на 3.
Да, это число делится и на 2, и на 3, то есть делится на 6.
2) 15% от числа А = 0,15A = 15A/100 = 3A/20
Если оно целое, то А должно быть кратно 20.
3) x^2 = -xy
x^2 + xy = 0
x(x + y) = 0
Или x = 0, или x + y = 0, но необязательно, что x + y = 0
4) Ось параболы y = ax^2 + bx + c имеет уравнение x = -b/(2a)
Парабола y = x^2 + 2ax - a+1. Ее ось x = -2a/2 = -a.
Если точка (2, 3) лежит на этой оси, то x = -a = 2, a = -2
Уравнение параболы принимает вид y = x^2 - 4x + 3.
y(3) = 3^2 - 4*3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0
Точка (3, 0) лежит на этой параболе.
5) |2x-1| + |x-1| + |x-2| = a
При x < 1/2 будет |2x-1| = 1-2x; |x-1| = 1-x; |x-2| = 2-x
1 - 2x + 1 - x + 2 - x = 4 - 4x = a
x = 1 - a/4 < 1/2
a/4 > 1/2
a > 2 - при таких а будет 1 решение, при a < 2 решений нет
При 1/2 <= x < 1 будет |2x-1| = 2x-1; |x-1| = 1-x; |x-2| = 2-x
2x - 1 + 1 - x + 2 - x = a
2 = a - при этом решением является любое x = [1/2; 1),
то есть бесконечное количество решений.
Дальше можно не рассматривать, все уже доказано.
6) x^2 - a = 1/x
x^3 - ax = 1
x^3 - ax - 1 = 0
Оно будет иметь два решения, если кубическое уравнение раскладывается на двучлен и квадрат двучлена
(x - x1)(x - x2)^2 = (x - x1)(x^2 - 2x*x2 + x2^2) = 0
x^3 - x1*x^2 - 2x2*x^2 + 2x*x1*x2 + x*x2^2 - x1*x2^2 = 0
x^3 - (x1 + 2x2)*x^2 + (2x1*x2 + x2^2)*x - x1*x2^2 = 0 
x^3 - ax - 1 = 0
Коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равны
{ x1 + 2x2 = 0
{ 2x1*x2 + x2^2 = -a
{ x1*x2^2 = 1
Подставляем
{ x2^2 = 1/x1
{ x2 = -x1/2
{ 2x1*x2 + x2^2 = -a
Из 1 и 2 уравнений получаем
x2^2 = x1^2/4 = 1/x1
x1^3 = 4 
x1 = ∛(4) = 2^(2/3)
x2 = -x1/2 = -2^(-1+2/3) = -2^(-1/3)
Вычисляем а
2x1*x2 + x2^2 = -a
2*2^(2/3)*(-2^(-1/3)) + 2^(-2/3) = -a
-2^(1+2/3-1/3) + 2^(-2/3) = -a 
a = 2^(4/3) - 2^(-2/3)
При таком а уравнение имеет 2 корня x1 = 2^(2/3), x2 = -2^(-1/3)