Имеется игральный кубик, на грани которого нанесены точки так, что сумма количеств точек на противоположных гранях равна 7. к каждой грани этого кубика приклеили игральный кубик так, что количества точек на склеиваемых гранях равны. чему равна сумма количеств точек на всех видимых гранях образованной фигуры?
На рисунке показаны медианы (красным) и биссектрисы (зелёным). Точка пересечения медиан Р, точка пересечения биссектрис О. Необходимой найти расстояние ОР.
Из свойства равнобедренного треугольника медиана из угла, лежащего против основания, является биссектрисой и высотой. Следовательно треугольник АВМ - прямоугольный. По теореме Пифагора находим ВМ:
ВМ=√(АВ²-АМ²)
так как ВМ медиана, то АМ=МС или АМ=АС/2=16/2=8
ВМ=√(10²-8²)=√(100-64)=√36=6
Из свойств медианы: медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1 считая от вершины, находим РМ:
РМ=ВМ/3=6/3=2.
Далее используем свойства биссектрисы: биссектриса треугольника делит стороны на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для треугольника АВМ это свойство выглядит так:
ВО/ОМ=АВ/АМ
ВО=ВМ-ОМ=6-ОМ
подставляем вместо ВО
(6-ОМ)/ОМ=10/8
8(6-ОМ)=10ОМ
48-8ОМ=10ОМ
48=10ОМ+8ОМ
48=18ОМ
ОМ=48/18=8/3
ОР=ОМ-ОР=8/3-2=2/3
ответ: расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис равно 2/3.