ответ: 1) dz=e^(x/y)*dx/y-x*e^(x/y)*dy/y²; 2) функция имеет максимум в точке M(2/3; 1/3).
Пошаговое объяснение:
1) z=e^(x/y)
Находим частные производные:
dz/dx=1/y*e^(x/y), dz/dy=-x/y²*e^(x/y).
Полный дифференциал dz=dz/dx*dx+dz/dy*dy=e^(x/y)*dx/y-x*e^(x/y)*dy/y²
2) Находим первые частные производные:
dz/dx=2*y+2*x-2; dz/dy=2*x+8*y-4.
Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений:
x+y-1=0
x+4*y-2=0
Решая её, находим x=2/3, y=1/3 - координаты единственной критической точки М(2/3; 1/3).
Находим вторые частные производные:
d²z/dx²=2; d²z/dxdy=2; d²z/dy²=8. Так как они суть постоянные числа, то и в критической точке они будут иметь те же значения:
A=d²z/dx²(M)=2; B=d²z/dxdy(M)=2; C=d²z/dy²(M)=8.
Так как выражение A*C-B²=2*8-4=12>0, то есть положительно, то в точке М функция действительно имеет экстремум. А так как при этом A=2>0, то этот экстремум является максимумом.
Откуда здесь квадраты:
1) от показателя степени.
а^n = a^(2n/2) = [a^(n/2)]^2 или картинка в редакторе формул:
Видно, что таких квадратов n/2, т.е. все четные степени от 1 до 100, а их:
100 : 2 = 50 ----- число четных степеней.
2) от основания степени. Среди нечетных чисел с нечетными степенями имеются КВАДРАТЫ, так как их основания представляют собой квадраты.
В ряду оснований степеней от 1 до 100 основания, дающие искомые квадраты, нужно искать среди чисел от 1 до 10, т.к. 10^10 = 100, а 100 - это наибольшее основание по условию.
причем четные степени нами уже сосчитаны. От 1 до 10 половина чисел - нечетные!:
10 : 2 = 5 ---- число квадратов - оснований ( 1 мы тоже считаем, так как 1^2 =1)
3) 50 + 5 = 55 ----- общее количество квадратов.
ответ: среди чисел 1^1, 2^2, 3^3, ... , 100^100 всего 55 квадратов.