Марс - четвёртая планета Солнечной системы. На небе, как и все внешние планеты, он виден лучше всего в периоды противостояний, которые повторяются каждые 26 месяцев. Однако, не все противостояния одинаковы. Орбита Марса довольно сильно вытянута, отчего и расстояния до него в противостояния меняются значительно. Видимые диаметры планеты могут соотноситься как 1 к 2 в два разных противостояния, соотношение яркостей - ещё больше. Самые тесные сближения 3-й и 4-й планет называются великими противостояниями. Они повторяются каждые 15-17 лет.
Пусть в некоторой окрестности точки x_0 \in \R определена функция f\colon U(x_0) \subset \R \to \R. Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,
В математическом анализе первоо́бразной (первообра́зной) или примити́вной функцией данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Для примера: F(x) = x3 / 3 является первообразной f(x) = x2. Так как производная константы равна нулю, x2 будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как x3 / 3 + 45645 или x3 / 3 − 36 … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x2 можно обозначить как F(x) = x3 / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально друг относительно друга, и их положение зависит от значения C.
Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:
\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a).
Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.
Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:
\int f(x)\, dx
Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.
Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:
F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt.
Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x} с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную F(x) = x^2 sin\frac{1}{x} с F(0) = 0.
Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:
2)95-80=15 комнат в 5 один квартирах.
3)15/5=3 комнаты.