Вообще-то в задании сказано разложить по строкам и столбцам...
Ну да ладно... Раз уж так сильно хочется, тогда вот так.
Вертикальную черту в начале и конце детерминанта ставить не буду, сами поставите. Перед последним - знак минус.
3 6 5 6 4
5 9 7 8 6
6 12 13 9 7
4 6 6 5 4
2 5 4 5 3
1 1 1 1 1
5 9 7 8 6
1 3 6 1 1
4 6 6 5 4
2 5 4 5 3
1 1 1 1 1
1 3 1 3 2
1 3 6 1 1
2 1 2 0 1
2 5 4 5 3
1 1 1 1 1
0 2 0 2 1
0 2 5 0 0
2 1 2 0 1
0 4 2 5 2
1 0 0 1 1
0 1 0 2 1
0 2 5 0 0
2 0 0 0 1
0 2 2 5 2
1 0 0 1 1
0 1 0 2 1
0 0 5 -4 -2
0 0 0 -2 -1
0 0 2 1 0
1 0 0 -1 1
0 1 0 0 1
0 0 5 0 -2
0 0 0 0 -1
0 0 2 1 0
1 0 2 -1 1
0 1 0 0 1
0 0 5 0 -2
0 0 0 0 -1
0 0 0 1 0
1 0 2 1 -1
0 1 0 1 0
0 0 5 -2 0
0 0 0 -1 0
0 0 0 0 1
В последнем преобразовании знак меняется на противоположный.
Так что det= -(1*1*5*(-1)*1) =5
ответ: 160√3 / 3
Решение
Пусть плоскость, проходящая через сторону AD основания ABCD пирамиды SABCD , пересекает боковые рёбра BS и CS соответственно в точках M и N , а плоскость, проходящая через сторону BC , пересекает боковые рёбра AS и DS соответственно в точках P и Q . Плоскости ASD и BPQC проходят через параллельные прямые AD и BC и пересекаются по прямой PQ . Значит, PQ || BC . Аналогично, MN || AD . Предположим, что AM || DN . Тогда BP || CQ . В этом случае две пересекающиеся прямые плоскости ASB соответственно параллельны двум пересекающимся прямым плоскости CSD , значит, эти плоскости параллельны, что невозможно. Таким образом, данные четырёхугольники – трапеции. Кроме того, PQ < AD и MN < BC , поэтому в равных трапециях BPQC и AMND соответственно равны основания BC и AD и основания PQ и MN . В четырехугольнике ABCD противоположные стороны AD и BC равны и параллельны, поэтому ABCD – параллелограмм и
РИС 1.
поэтому PM || AB . Аналогично, QN || CD , поэтому PM || QN , а т.к. PQ || MN , то PMNQ – параллелограмм. Значит, PM = NQ . Пусть отрезки AM и BP пересекаются в точке E , а отрезки CQ и DN – в точке F . Предположим, что AM = CQ и BP = DN . Тогда треугольники PEM и NFQ равны по трём сторонам, поэтому AMP = CQN . Значит, треугольники APM и CQN равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда AP = CN , а т.к. AP/AS = DQ/DS , то AS = DS . Аналогично, BS = CS . Пусть O – ортогональная проекция вершины S на плоскость основания ABCD . Тогда OA = OD и OB = OC как ортогональные проекции равных наклонных. Значит, точка O лежит на серединных перпендикулярах к противоположным сторонам AD и BC параллелограмма ABCD . Поскольку параллелограмм ABCD не является прямоугольником, серединные перпендикуляры к двум его противоположным сторонам параллельны. Таким образом, предположение о том, что AM = DN и BP = CQ приводит к противоречию. Остается рассмотреть случай, когда AM = BP и CQ = DN . Рассуждая аналогично, получим, что AS = CS и BS = DS . Тогда точка O принадлежит серединным перпендикулярам к диагоналям AC и BD параллелограмма ABCD , т.е. совпадает с центром параллелограмма ABCD . Далее находим:
Рис. 2
