Решение проводим с калькулятора.
Даны координаты треугольника: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
3) Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC
γ = arccos(0.6) = 53.130
4) Проекция вектора
Проекцию вектора b на вектор a можно найти по формуле:
Найдем проекцию вектора AB на вектор AC
5) Площадь треугольника
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:
По формуле получаем:
6) Деление отрезка в данном отношении
Радиус-вектор r точки A, делящий отрезок AB в отношении AA:AB = m1:m2, определяется формулой:
Координаты точки А находятся по формулам:
Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.
M(0;-1)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(2;1) и М(0;-1), поэтому:
или
или
y = x -1 или y -x +1 = 0
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
или
или
y = 3x -5 или y -3x +5 = 0
Уравнение прямой AC
или
или
y = 1/3x + 1/3 или 3y -x - 1 = 0
Уравнение прямой BC
или
или
y = -x -1 или y + x +1 = 0
8) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой A(2;1) и прямой BC (y + x +1 = 0)
9) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Данное уравнение можно найти и другим Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = 3x -5, т.е. k1 = 3
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :
3k = -1, откуда k = -1/3
Так как перпендикуляр проходит через точку C(-1,0) и имеет k = -1/3,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = -1, k = -1/3, y0 = 0 получим:
y-0 = -1/3(x-(-1))
или
y = -1/3x - 1/3
Уравнение биссектрисы треугольника
Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.
Воспользуемся формулой:
Уравнение AB: y -3x +5 = 0, уравнение AC: 3y -x - 1 = 0
^A ≈ 530
Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол NAK ≈ 26.50
Тангенс угла наклона AB равен 3 (т.к. y -3x +5 = 0). Угол наклона равен 72
^NKA≈ 1800 - 720 = 1080
^ANK ≈ 1800 - (1080 + 26.50) ≈ 45.50
tg(45.50) = 1
Биссектриса проходит через точку A(2,1), используя формулу, имеем:
y - y0 = k(x - x0)
y - 1 = 1(x - 2)
или
y = x -1
как я понял
Формула скорости: υ = ι : t.
58.
Пусть x - скорость теплохода.
С условия теплоход проплыл 216 км по течению, что означает во время прохождения собственная скорость теплохода (x) и скорость речки (с условия - 3 км/ч) суммировались:
x + 3 = 216 : 6 ⇒
x + 3 = 36 ⇒
x = 36 - 3 = 33 км/ч (собственная скорость теплохода)
Теперь найдем сколько километров проплывет теплоход за 4 часа против течения реки, что значит собственной скорости теплохода будет препятствовать скорость течения:
33 - 3 = ι : 4 ⇒
30 = ι : 4 ⇒
ι = 30 · 4 = 120 км
ответ: 120 километров.
59.
Пусть скорость второго автомобиля - x. Можем сказать, что сумма расстояний, которые проехали машины перед тем, как встретится равна расстоянию между пунктами, с которых они начали свое движение:
ι = υ · t ⇒
603 = 3 · (x + 96) ⇒
201 = x + 96 ⇒
x = 105 км/ч
ответ: 105 километров в час.
60.
Пусть скорость второго поезда - x. Можем сказать, что сумма расстояний, которые проехали поезда через 4 часа равна разнице расстояния между пунктами, откуда они начали движение и расстояния между ними:
ι = υ · t ⇒
616 - 28 = 4 · (x + 72) ⇒
588 = 4 · (x + 72) ⇒
147 = x + 72 ⇒
x = 147 - 72 = 75 км/ч
ответ: 75 километров в час.
61.
При условии, что масса персиков в каждом ящике(m₀) постоянна, можно вывести формулу для подсчета их общей массы (m), относительно количества ящиков(n):
m = n · m₀
Запишем с этой формулы все, что дано в условии:
1 сад: m₁ = 65 · m₀
2 сад: m₂ = 72 · m₀
m₂ - m₁= 56
Решим получившеюся систему уравнений:
72 · m₀ - 65 · m₀ = 56 ⇒
7 · m₀ = 56 ⇒
m₀ = 56 : 7 = 8 кг
ответ: 8 килограмм.
62.
Пусть x - первое натуральное число, тогда x + 1 - второе и x + 2 - соответственно третье.
Запишем условие:
1571 - x - x -1 - x - 2 = 1457 ⇒
1571 - 3x - 3 = 1457 ⇒
-3x = 1457 - 1568 ⇒
-3x = -111
x = 37 (первое число)
x + 1 = 37 + 1 = 38 (второе число)
x + 2 = 37 + 2 = 39 (третье число)
ответ: 37, 38, 39.
P.S.
Если возникли вопросы - пишите. Если хотите мне взамен, то поставьте отметку "лучший ответ", я буду очень благодарен.
Удачного дня! :)
2) 120:8 = 15 (кор)
ответ: у Ксюши было 15 коробок с игрушками