Question

А, b, c положительные целые числа большие чем 1, такое, что (c + 1) | (a+b), (a+ 1) | (b + c), (b + 1) | (с + а) , найти наибольшее возможное значение a+b+ c.

Answer 1

Все отношения между числами симметричные, т.е. если взаимно поменять местами, скажем, $a$ и $b ,$ то ничего не изменится, всё будет работать как прежде.

Значит, мы можем переставить все числа, так,
чтобы оказалось, что $c b a 1 .$

Введём новые переменные $\{ x , y , k , m , n \} \in N .$

И будем искать такие комбинации $a, a+x, a+x+y ,$ чтобы

$( [ a + 1 ] + x + y ) | ( 2a+x ) ,$
$( [ a + 1 ] + x ) | ( 2a+x+y )$ и
$( a + 1 ) | ( 2a+2x+y ) .$

Начнём с первого требования, оно эквивалентно утверждению, что:

$k ( [ a + 1 ] + x + y ) = 2a + x$ ;

$(k-1) x + ky = 2a - k [ a + 1 ]$ ;

При $k 1 ,$ правая часть отрицательная, а левая положительна, что не возможно.

Значит, $k = 1 \ ; \ \Rightarrow y = a - 1$ ;

Теперь подставим вместо $y$ его значение $y = a - 1$ и будем искать такие комбинации $a, a+x, 2a+x-1 ,$ чтобы:

$( 2a + x ) | ( 2a+x )$ – теперь всегда будет выполняться с $k = 1 ,$
$( [ a + 1 ] + x ) | ( 3a+x-1 )$ и
$( a + 1 ) | ( 3a+x-1 ) .$

Проанализируем второе требование, оно эквивалентно утверждению, что:

$m ( [ a + 1 ] + x ) = 3a+x-1$ ;

$(m-1) x = 3a - 1 - m [ a + 1 ]$ ;

При $m 2 ,$ правая часть отрицательная, а левая положительна, что не возможно.

При $m = 1 \ ; \ \Rightarrow 0 = 2a - 2 \ ; \ \Rightarrow a = 1 ,$ но это не подходит по условию.

Значит, $m = 2 \ ; \ \Rightarrow x = a - 3$ ;

Теперь подставим вместо $x$ его значение $x = a - 3$ и будем искать такие комбинации $a, 2a-3, 3a-4 ,$ чтобы:

$( 3 [ a - 1 ] ) | ( 3 [ a - 1 ] )$ – теперь всегда будет выполняться с $k = 1 ,$
$( 2 [ a - 1 ] ) | ( 4 [ a - 1 ] )$ – теперь всегда будет выполняться с $m = 2 ,$
$( a + 1 ) | ( 5a-7 ) .$

Проанализируем последнее требование, оно эквивалентно утверждению, что:

$n ( a + 1 ) = 5a - 7$ ;

$na + n = 5a - 7$ ;

$5a - na = 7 + n$ ;

$( 5 - n ) a = 7 + n$ ;

$a = \frac{ 7 + n }{ 5 - n } = \frac{ 12 + n - 5 }{ 5 - n } = \frac{ 12 }{ 5 - n } - \frac{ 5 - n }{ 5 - n } = \frac{ 12 }{ 5 - n } - 1$ ;

Сумма всей комбинации – это:

$S = a + (2a-3) + (3a-4) = 6a-7 = 6(a-1)-1 = 6( \frac{ 12 }{ 5 - n } - 2 ) - 1 ,$

максимум которой достигается при минимальном значении

в знаменателе дроби $\frac{ 12 }{ 5 - n } ,$ т.е. при $n = 4 .$

Тогда сумма всей комбинации $S = 6( \frac{ 12 }{ 5 - n } - 2 ) - 1 = 6( \frac{ 12 }{ 5 - 4 } - 2 ) - 1 =$

$= 6( \frac{ 12 }{ 1 } - 2 ) - 1 = 6( 12 - 2 ) - 1 = 6 \cdot 10 - 1 = 60 - 1 = 59$ ;

О т в в е т : 59 .