|x+a| + x² < 2
1) x+a ≥ 0
х ≥ -а
x + a + x² < 2
х² + х + (а - 2) < 0
Рассмотрим функцию: у = х² + х + (а - 2), её график - квадратная парабола веточками вверх. Следовательно, неравенство x + a + x² < 2 справедливо в интервале между корнями уравнения х² + х + (а - 2) = 0
D = 1 - 4· (а - 2) = 1 - 4a + 8 = 9 - 4a
Уравнение имеет решение, если D ≥ 0
9 - 4a ≥ 0
4a ≤ 9
a ≤ 2,25
При а = 2,25 парабола будет касаться оси х, и неравенство не будет справедливым, поэтому принимаем a < 2,25
Уравнение будет иметь положительное решение при -1 + √(9 - 4a) > 0
√(9 - 4a) > 1
(9 - 4a) > 1
4а < 8
а < 2
при этом х ≥ -а, т.е должно быть х ≥ -2
Действительно, если а = 0, тогда уравнение х² + х - 2 = 0 имеет дискриминат
D = 1 + 8 = 9 и корни х₁ = (-1+3):2 = 1 и х₂ = (-1-3):2 = -2
Получается, что между -2 и 1 неравенство х² + х - 2 < 0 будет справедливым.
И положительные корни есть.
2) x+a ≤ 0
х ≤ -а
-x - a + x² < 2
х² - х - (а + 2) < 0
Рассмотрим функцию: у = х² - х - (а + 2), её график - квадратная парабола веточками вверх. Следовательно, неравенство -x - a + x² < 2 справедливо в интервале между корнями уравнения х² - х - (а + 2) = 0
D = 1 + 4· (а + 2) = 1 + 4a + 8 = 9 + 4a
Уравнение имеет решение, если D ≥ 0
9 + 4a ≥ 0
4a ≥ -9
a ≥ -2,25
При а = -2,25 парабола будет касаться оси х, и неравенство не будет справедливым, поэтому принимаем a > -2,25
Уравнение будет иметь положительное решение при 1 + √(9 + 4a) > 0
√(9 + 4a) > -1
естественно, что √(9 + 4a) > 0
(9 + 4a) > 0
4а > -9
а > -2,25
при этом х ≤ -а, т.е должно быть х ≤ 2,25
Действительно, если а = 0, тогда уравнение х² - х - 2 = 0 имеет дискриминат
D = 1 + 8 = 9 и корни х₁ = (1+3):2 = 2 и х₂ = (1-3):2 = -1
Получается, что между -1 и 2 неравенство х² - х - 2 < 0 будет справедливым.
Видно, что положительные корни есть.
1) при x+a ≥ 0 неравенство |x+a| + x² < 2 справедливо и имеет положительные корни при а < 2
2) при x+a ≤ 0 неравенство |x+a| + x² < 2 справедливо и имеет положительные корни при а > -2,25
надеюсь, что найдешь подходящее