Question

Help cos(2(x+pi/3))+4sin(x+pi/3)=5/2

Answer 1

$\tt \cos(2(x+\frac{\pi}{3} ))+4\sin(x+\frac{\pi}{3} )=2.5\\ \\ 1-2\sin^2(x+\frac{\pi}{3} )+4sin(x+\frac{\pi}{3} )=2.5~~|\cdot(-2)\\ \\ 4\sin^2(x+\frac{\pi}{3} )-8\sin(x+\frac{\pi}{3} )+3=0\\ \\ 4(\sin^2(x+\frac{\pi}{3} )-2\sin(x+\frac{\pi}{3} )+1-1)+3=0\\ \\ 4(\sin (x+\frac{\pi}{3} )-1)^2-1=0\\ \\ (2\sin(x+\frac{\pi}{3}) -3)(2\sin(x+\frac{\pi}{3} )-1)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$\tt 2\sin(x+\frac{\pi}{3} )-3=0\\ \sin(x+\frac{\pi}{3} )=1.5$

Уравнение решений не имеет так как синус принимает свои значения [-1;1]

$\tt 2\sin(x+\frac{\pi}{3} )-1=0\\ x+\frac{\pi}{3} =(-1)^n\cdot\frac{\pi}{6}+\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ x=(-1)^n\cdot\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}+\pi n,n \in \mathbb{Z}$