Question

Решите уравнение sin²3x+sin²4x=sin²5x+sin²6x

Answer 1

Sin²x = (1 - cos 2x)/2
Получим:
(1 - cos 6x)/2 + (1 - cos 8x)/2 = (1 - cos 10x)/2 + (1 - cos 12x)/2
Умножим на 2:
1 - cos 6x + 1 - cos 8x = 1 - cos 10 x + 1 - cos 12 x
-cos 6x - cos 8x = -cos 10x - cos 12x
cos 6x + cos 8x = cos 10x + cos 12x
cos 6x - cos 10x = cos 12x - cos 8x 

cos a - cos b = -2 sin ((a+b)/2) sin ((a-b)/2)
sin (-a) = -sin a
-2 sin 8x sin (-2x) = -2 sin 10x sin 2x
2 sin 8x sin 2x + 2 sin 10x sin 2x = 0
sin 2x sin 8x + sin 2x sin 10x = 0
sin 2x (sin 8x + sin 10 x) = 0
Получим 2 уравнения:
1) sin 2x = 0
2x = πk, k ∈ Z, Z - множество целых чисел
x = πk/2, k ∈ Z
2) sin 8x + sin 10 x = 0
sin a + sin b = 2 sin ((a+b)/2) cos((a-b)/2)
cos(-a) = cos a
sin 8x + sin 10x = 2 sin 9x cos x = 0
Получим еще 2 варианта:
2.1) sin 9x = 0
9x = πk, k ∈ Z
x = πk/9, k ∈ Z
2.2) cos x = 0
x = π/2 + πk, k ∈ Z

Соберем все ответы:
x = πk/9, k ∈ Z
x = π/2 + πn, n ∈ Z
x = πm/2, m ∈ Z