Доказательство проведём индукцией по n. При n = 1 выражение 16ⁿ + 5*9ⁿ - 3*2ⁿ⁺¹ = 16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ = 16 + 45 - 12 = 49 кратно 7. Допустим, что выражение 16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ кратно 7 при произвольном n. Докажем, что тогда и выражение 16ⁿ⁺¹ + 5*9ⁿ⁺¹ - 6*2ⁿ⁺¹ кратно 7. Рассмотрим разность 16ⁿ⁺¹ + 5*9ⁿ⁺¹ - 6*2ⁿ⁺¹ - (16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ) = 16*16ⁿ + 45*9ⁿ - 12*2ⁿ - 16ⁿ - 5*9ⁿ + 6*2ⁿ = 15*6ⁿ + 40*9ⁿ - 6*2ⁿ = 14*16ⁿ + 35*9ⁿ + 16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ = 7(2*16ⁿ + 5*9ⁿ) + 16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ. Слагаемое 7(2*16ⁿ + 5*9ⁿ) кратно 7, слагаемое 16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ кратно 7 по предположению индукции. Значит вся разность 16ⁿ⁺¹ + 5*9ⁿ⁺¹ - 6*2ⁿ⁺¹ - (16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ) кратна 7, а значит и 16ⁿ⁺¹ + 5*9ⁿ⁺¹ - 6*2ⁿ⁺¹ кратно 7. Таким образом кратность 7 выражения 16ⁿ + 5*9ⁿ - 3*2ⁿ⁺¹ доказана.
Даны уравнения сторон треугольника:
АВ:х+2у-1=0, ВС:5х+2у-17=0, АС:х-4у+11=0.
Находим координаты точки А как точку пересечения прямых АВ и АС.
АВ: х+2у-1=0
АС: х-4у+11=0 вычтем из первого уравнения второе.
6у - 12 = 0, отсюда у = 12/6 = 2, х = 1-2*2 = -3.
Точка А(-3; 2).
У параллельной прямой в виде Ах + Ву + С = 0 коэффициенты А и В сохраняются.
Искомое уравнение прямой, параллельной ВС, будет иметь вид:
5х + 2у + С = 0. Для определения слагаемого С подставим координаты точки А, через которую проходит прямая.
5*(-3) + 2*2 + С = 0, отсюда С = 15 - 4 = 11.
ответ: 5х + 2у + 11 = 0.
