Question

Для независимых случайных величин х1,…х4 известно, что их ожидания е(хi)=-2, дисперсия d (хi)=1,…4. найти дисперсию произведения d (х1…х4)

Answer 1

$X_{1}\dots{X}_{4}$ — попарно независимые случайные величины, следовательно для нахождение дисперсий их произведения достаточно воспользоваться формулой:

$D[X_{a}X_{b}] = D[X_{a}]D[X_{b}]+D[X_{a}](M[X_{b}])^{2}+D[X_{b}](M[X_{a}])^2$

Посчитав $D[X_1X_2]$ мы должны убедится, что $X_1X_2$ независима от $X_3$ и $X_4$. В этом легко убедиться исходя из условия попарной независимости: произведение двух из трех попарно независимых величин независимо от оставшейся.
Математическое ожидание для произведения независимых случайных величин считается следующим образом:

$M[X_aX_b]=M[X_a]M[X_b]$

Таким образом, применяя означенные формулы найдем характеристики $X_1X_2$:

$D[X_1X_2]=D[X_1]D[X_2]+D[X_1](M[X_2])^{2}+D[X_2](M[X_1])^{2}=2+4+8=14$
$M[X_1X_2]=M[X_1]M[X_2]=-2\cdot{-2}=4$

Аналогичным образом находим характеристики $X_1X_2X_3$:

$D[X_1X_2X_3] = D[X_1X_2]D[X_3]+D[X_1X_2](M[X_3])^{2}+D[X_3](M[X_1X_2])^{2}=14\cdot3+14\cdot4+3\cdot16=42+56+48=146$
$M[X_1X_2X_3]=M[X_1X_2]M[X_3]=-2\cdot4=-8$

И наконец для $X_1X_2X_3X_4$:

$D[X_1X_2X_3X_4]=D[X_1X_2X_3]D[X_4]+D[X_1X_2X_3](M[X_4])^{2}+D[X_4](M[X_1X_2X_3])^{2}=146\cdot4+146\cdot4+4\cdot64=584+584+256=1424$
$M[X_1X_2X_3X_4]=M[X_1X_2X_3]M[X_4]=-8\cdot{-2}=16$