Для решения этой задачи, мы должны раскрыть скобки в произведении (x+y)(x^2+xy+y^2)(x^3+y^3-x^2y) и подсчитать, сколько слагаемых до подобных членов получится.
Для начала, раскроем первую пару скобок (x+y)(x^2+xy+y^2). Для этого умножим каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:
(x(x^2+xy+y^2) + y(x^2+xy+y^2))
Раскрывать скобки дальше не нужно, поскольку получившиеся слагаемые уже имеют подобные члены. Теперь у нас есть следующие слагаемые:
x(x^2+xy+y^2) + y(x^2+xy+y^2)
При раскрытии скобок в x(x^2+xy+y^2) получится:
x*x^2 + x*xy + x*y^2
Аналогичным образом, раскрываем y(x^2+xy+y^2):
y*x^2 + y*xy + y*y^2
Теперь мы получили:
x^3 + x^2y + xy^2 + yx^2 + xy^2 + y^3
Мы можем заметить, что есть два слагаемых с одинаковыми членами xy^2, поэтому их можно объединить:
x^3 + x^2y + yx^2 + 2xy^2 + y^3
Теперь, продолжим с раскрытием оставшейся третьей скобки (x^3+y^3-x^2y):
Мы уже знаем, что в данном выражении имеются слагаемые x^3, y^3 и -x^2y. Нам необходимо определить, сколько дополнительных слагаемых появится в результате произведения с имеющимися слагаемыми.
У нас есть 3 слагаемых в первом произведении (x^3), 3 слагаемых во втором произведении (y^3) и 3 слагаемых в последнем произведении (-x^2y).
Таким образом, общее количество слагаемых до подобных членов будет равно сумме слагаемых в каждом произведении:
а) Чтобы найти cos ∠abc, нужно знать координаты вершин a, b и c тетраэдра.
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4) и c (2; -1; 1).
1. Найдем векторы ab и ac:
Вектор ab = (2 - (-3); -2 - 1; 4 - 1) = (5; -3; 3)
Вектор ac = (2 - (-3); -1 - 1; 1 - 1) = (5; -2; 0)
2. Вычислим скалярное произведение векторов ab и ac:
ab·ac = (5)(5) + (-3)(-2) + (3)(0) = 25 + 6 + 0 = 31
3. Также найдем длину векторов ab и ac:
|ab| = sqrt((5)^2 + (-3)^2 + (3)^2) = sqrt(25 + 9 + 9) = sqrt(43)
|ac| = sqrt((5)^2 + (-2)^2 + (0)^2) = sqrt(25 + 4 + 0) = sqrt(29)
б) Чтобы найти длину медианы am, проведенной из вершины a к стороне bc треугольника abc, нужно знать координаты вершин a, b и c тетраэдра.
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4) и c (2; -1; 1).
1. Найдем середину стороны bc:
Середина стороны bc = ((2 + 2) / 2; (-2 + -1) / 2; (4 + 1) / 2)
= (4 / 2; -3 / 2; 5 / 2)
= (2; -1.5; 2.5)
в) Чтобы найти площадь треугольника abc, нужно знать координаты вершин a, b и c тетраэдра.
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4) и c (2; -1; 1).
1. Найдем два вектора, направленных от вершины a к вершинам b и c:
Вектор ab = (2 - (-3); -2 - 1; 4 - 1) = (5; -3; 3)
Вектор ac = (2 - (-3); -1 - 1; 1 - 1) = (5; -2; 0)
4. Найдем площадь треугольника abc:
Площадь треугольника abc = 1/2 * |ab^ac|
= 1/2 * sqrt(305)
г) Чтобы найти длину высоты cn, опущенной из вершины c на сторону ab треугольника abc, нужно знать координаты вершин a, b и c тетраэдра.
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4) и c (2; -1; 1).
1. Найдем вектор ab:
Вектор ab = (2 - (-3); -2 - 1; 4 - 1) = (5; -3; 3)
2. Найдем единичный вектор n, перпендикулярный плоскости abc:
Единичный вектор n = ab / |ab| = (5/sqrt(43); -3/sqrt(43); 3/sqrt(43))
3. Для определения длины высоты cn ослабим условие данной задачи и найдем проекцию вектора ac на вектор n. Для этого умножим скалярно вектор ac и вектор n (проекция вектора ac на вектор n):
cos ∠can = ac·n / |ac|
= ((2 - (-3))(5/sqrt(43)) + (-1 - 1)(-3/sqrt(43)) + (1 - 1)(3/sqrt(43))) / sqrt((2 - (-3))^2 + (-1 - 1)^2 + (1 - 1)^2)
= (10 + 6) / sqrt(43)
= 16 / sqrt(43)
4. Теперь, когда мы знаем cos ∠can, можем найти длину высоты cn, опущенной из вершины c на сторону ab треугольника abc:
Длина высоты cn = cos ∠can * |ac|
= 16 / sqrt(43) * sqrt(29)
= 16 * sqrt(29) / sqrt(43)
д) Чтобы найти объем тетраэдра abcd, нужно знать координаты вершин a, b, c и d.
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4), c (2; -1; 1) и d (-1; 0; 8).
1. Найдем векторы ab, ac и ad:
Вектор ab = (2 - (-3); -2 - 1; 4 - 1) = (5; -3; 3)
Вектор ac = (2 - (-3); -1 - 1; 1 - 1) = (5; -2; 0)
Вектор ad = (-1 - (-3); 0 - 1; 8 - 1) = (2; -1; 7)
е) Чтобы найти длину высоты тетраэдра dh, опущенной из вершины d на плоскость (abc), нужно знать координаты вершин a, b, c и d.
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4), c (2; -1; 1) и d (-1; 0; 8).
1. Найдем векторы ab и ac:
Вектор ab = (2 - (-3); -2 - 1; 4 - 1) = (5; -3; 3)
Вектор ac = (2 - (-3); -1 - 1; 1 - 1) = (5; -2; 0)
3. Пусть точка h (x; y; z) - плоскость abc пересекает линию dh. Тогда h лежит на плоскости (abc) и прямой dh, и вектор dh будет касательным к плоскости (abc) в точке h.
Следовательно, вектор dh будет перпендикулярен вектору ab^ac, поэтому мы можем использовать его в качестве вектора нормали к плоскости dh.
4. Вектор dh будет иметь ту же направляющую прямую, что и ab^ac, но начнется из точки d (-1; 0; 8).
Тогда вектор dh будет равен ab^ac с началом в точке d:
Вектор dh = (6; -10; -13) + (-1; 0; 8) = (5; -10; -5)
ж) Уравнение плоскости (abc) можно найти, зная координаты вершин a, b и c тетраэдра.
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4) и c (2; -1; 1).
1. Найдем два вектора, направленных от вершины a к вершинам b и c:
Вектор ab = (2 - (-3); -2 - 1; 4 - 1) = (5; -3; 3)
Вектор ac = (2 - (-3); -1 - 1; 1 - 1) = (5; -2; 0)
з) Уравнение высоты тетраэдра dh, опущенной из вершины d на плоскость abc, можно найти, зная координаты вершин a, b, c и d.
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4), c (2; -1; 1) и d (-1; 0; 8).
1. Найдем два вектора, направленных от вершины a к вершинам b и c:
Вектор ab = (2 - (-3); -2 - 1; 4 - 1) = (5; -3; 3)
Вектор ac = (2 - (-3); -1 - 1; 1 - 1) = (5; -2; 0)
2)хорошей,черней,веселей,молодей,быстрей,сочней,умней,белей,темней,слабей,скорей,
3)кушаем,жилеем,думаем,делаем,строем,играем,сочиняем,белеем,темнеем.