Question

Найдите наименьшее натуральное число, имеющее ровно 55 натуральных делителей, считая единицу и само число.

Answer 1

В искомом числе это произведение равно 55=11*5, т.е. либо число состоит из одного простого, и тогда a1+1=55, либо число состоит из двух простых, и тогда a1+1=5 и a1+1=11 . Чтобы число было наименьшим, простые, входящие в его разложение, должны быть минимально возможными, т.е. равны 2 и 3, причем у большего простого должна быть меньшая степень. Таким образом, возможны два варианта для  искомого числа: n=2⁵⁴ или n=2¹⁰*3⁴. Поскольку второе число, очевидно, меньше первого, то ответ 2¹⁰*3⁴=82944.