Даны координаты вершин пирамиды A1( 7; 2; 2) A2 (5; 7; 7) A3(5; 3; 1) A4(2; 3; 7) . Найти:
1) длину ребра A1A2.
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
a = √(X² + Y² + Z²).
Находим координаты вектора А1А2 по точкам A1( 7; 2; 2) A2 (5; 7; 7).
А1А2 = (5-7; 7-2; 7-2) = (-2; 5; 5).
Длина А1А2 = √((-2)² + 5² + 5²) = √(4 + 25 + 25) = √54.
2) угол между рёбрами A1A2 и A1A4.
Находим координаты вектора А1А4 по точкам A1( 7; 2 ; 2) A4(2; 3; 7).
А1А4 = (2-7; 3-2; 7-2) = (-5; 1; 5).
Длина А1А4 = √((-5)² + 1² + 5²) = √(25 + 1 + 25) = √51.
cos(A1A2_A1A4) = ((-2)*(-5)+5*1+5*5)/(√54*√51) = 40/√2754 = 0,762216.
Угол равен arccos0,762216 = 40,34006 градуса.
3) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3.
Надо составить уравнение плоскости А1А2А3.
Вектор А1А4 найден и равен (-5; 1; 5). Его модуль равен √51.
Находим вектор А1А3 = (5-7; 3-2; 1-2) = (-2; 1; -1).
Находим векторное произведение A1A2xA1A3.
i j k| i j
-2 5 5| -2 5
-2 1 -1| -2 1 = -5i - 10j - 2k - 2j - 5i + 10k = -10i - 12j + 8k.
Найден нормальный вектор грани А1А2А3: (-10; -12; 8).
Его модуль равен √((-10)² + (-12)² + 8²) = √(100 + 144 + 64) = √308.
sin(A1A4_A1A2A3) = ((-5)*(-10)+1*(-12)+5*8)/(√51*√308) = 78/√15708 = 0,62235.
Угол равен 38,4879 градуса.
4) площадь грани A1A2A3.
Площадь грани равна половине модуля векторного произведения векторов А1А2 на А1А3.
S = (1/2)* √((-10)² + (-12)² + 8²) = (1/2)*√308 = 8,775 кв. ед.
5) объём пирамиды.
V = (1/6)(A1A2xA1A3)*A1A4.
A1A2xA1A3 = -10 -12 8
A1A4 = -5 1 5
50 - 12 + 40 = 78.
V = (1/6)*78 = 13 куб. ед.
6) уравнение прямой A1A2.
Точка А1( 7; 2; 2), вектор А1А2 = (-2; 5; 5).
Уравнение А1А2: (x - 7)/(-2) = (y - 2)/5 = (z - 2)/5.
7) уравнение плоскости A1 A2A3.
x−xAxabxacy−yAyabyacz−zAzabzac∣∣∣∣=0 ⇔ ∣∣∣∣x−7−2−2y−251z−25−1∣∣∣∣=0 ⇔⇔ (x−7)⋅∣∣∣515−1∣∣∣−(y−2)⋅∣∣∣−2−25−1∣∣∣+(z−2)⋅∣∣∣−2−251∣∣∣=0 ⇔⇔ (x−7)⋅(−10)−(y−2)⋅12+(z−2)⋅8=0 ⇔⇔ 5x+6y−4z−39=0;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2A3.
Точка A4(2; 3; 7), нормальный вектор плоскости А1А2А3:(-10; -12; 8) - он для высоты является направляющим вектором.
(x - 2)/(-10) = (y - 3)/(-12) = (z - 7)/8.
2) 550*60 = 33000 (м) - проезжают они за 1 час
3) 33000 м = 33 км
4) 33*3=99 9км) расстояние между селами