Question

На прямой x+5=0 найти точку одинаково удаленную от левого фокуса и верхней вершины эллипса x^2/20+y^2/4=1

Answer 1

В данном эллипсе а = √20, в =√4 = 2.
Находим координаты левого фокуса:
с = √(а²-в²) = √(20-4) = √16 = -4 (это на оси х), у = 0.
Обозначим её точкой А(-4; 0).
Координаты верхней вершины эллипса (она находится на оси у): точка В(0; 2).
Находим уравнение прямой АВ:
$AB: \frac{x-(-4)}{0-(-4)} = \frac{y-0}{2-0}$
$AB: \frac{x+4}{4} = \frac{y}{2}.$
Это каноническая форма уравнения прямой АВ.
В общем виде: 2х + 8 = 4у
                        2х - 4у + 8 = 0 или сократив на 2:
                          х - 2у + 4 = 0.
В виде уравнения с коэффициентом:
у = (1/2)х + 2.

Точка на прямой х = -5, одинаково удаленная от левого фокуса и верхней вершины эллипса x^2/20+y^2/4=1, находится в месте пересечения этой прямой и перпендикуляра к середине прямой АВ.

Находим координаты точки К - средины отрезка АВ:
К:((-4+0)/2 = -2; (0+2)/2=1),
К:(-2; 1).

Уравнение перпендикуляра к АВ, проходящего через точку К, имеет коэффициент перед х, равный -1/к коэффициента к прямой АВ:  к = -1/(1/2) = -2.
В уравнение перпендикуляра у = 2х + в подставим координаты точки К:
1 = -2*(-2) + в.
Отсюда находим значение в этого перпендикуляра:
в = 1 - 4 = -3.
Получаем у = -2х - 3.

Теперь находим координаты точки М, равноудалённой от левого фокуса и верхней вершины, подставив значение х = 5: у = -2*5 - 3  = -10 - 3 = -13.

ответ: М(5; -13).