3.2. Комплексные числа
Понятие мнимой единицы
Допустим, что существует такое число, квадрат которого равен – 1. Обозначим это число буквой i; тогда можно записать: .Число i будем называть мнимой единицей (i – начальная буква французского слова imaginaire – “мнимый”), а предыдущее равенство будем считать определением мнимой единицы.
Из этого равенства находим . Введение мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать корни квадратные из отрицательных чисел. Например,
Определение комплексного числа
Мы знакомы с действительными числами и с мнимыми единицами. Рассмотрим теперь числа нового вида.
Числа вида – действительные числа, i – мнимая единица, будем называть комплексными.
Число a будем назвать действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части. Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равными нулю. Если a = 0, то комплексное число bi называется чисто мнимым. Если b = 0, то комплексное число a + bi равно a и называется действительным. Если a = 0 и b = 0 одновременно, то комплексное число 0 + 0i равно нулю. Итак, мы получили, что действительные числа и чисто мнимые числа представляют собой частные случаи комплексного числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называется алгебраической формой комплексного числа.
Два комплексных числа a + bi и c + di условились считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a + bi = c + di, если a = c и b = d.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.
Даны комплексные числа z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i. Найти:
а) z1 + z2; б) z1 – z2; в) z1z2.
Решение.
а) z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;
б) z1 – z2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;
в) z1z2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i2 = 10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31 + i
(здесь учтено, что i2 = – 1).
Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:
(ab)2 = a2 2ab + b2,
(a b)3 = a3 3a2b + 3ab b3.
Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
Геометрическая интерпретация комплексного числа
Комплексное число z = a + bi можно изобразить точкой Z плоскости с координатами (a; b). Для этого выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью; чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую будем называть мнимой осью.
Каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует один и только один вектор с началом O(0; 0) и концом Z(a; b). Поэтому комплексное число z = a + bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом в точке Z(a; b).
Предыдущая | Главная | Глава 3 | Следующая
Более эмоциональные люди, казалось бы, больше подвержены стрессу и менее психологически устойчивы. Других же гораздо сложнее вывести из равновесия.
На самом деле эмоциональные люди, несмотря на бурную реакцию, гораздо быстрее адаптируются к новой ситуации и легче справляются с последствиями стресса. Их психика более «гибкая».
Флегматичные люди менее остро реагируют на раздражители, но, если привычные условия нарушены, времени и усилий на адаптацию уходит гораздо больше.
Мы испытываем стресс когда
- мы живем или работаем в некомфортных условиях,
- какое-то событие неожиданно нарушает привычный для нас образ жизни. Сюда относятся конфликты разного рода, изменение привычной обстановки, потеря близкого человека,
- стакиваются моральные нормы и наши желания. Человек хочет совершить или совершает поступок, который, по его мнению, аморален или безнравственен.
Иногда мы не можем повлиять на обстоятельства, но можем изменить свою реакцию. Например, вас оскорбили, и вы испытываете стресс от унижения. Но вы же можете отреагировать и по-другому. Например, просто не обратить внимания. Вас же не унижает лай пробегающей мимо собачонки?
Все мы разные и обладаем разной психологической устойчивостью к стрессу. Но, несмотря на это, свою психологическую устойчивость можно повысить.
Во-первых, мы должны, по возможности, жить в комфортном для себя ритме. Если вы – человек медлительный, то постоянная спешка для вас это стресс.
Во-вторых, ваша нервная система, также как и мышцы, нуждается в отдыхе. Если у вас очень напряженный график, дайте себе день в неделю хорошо выспаться. Выезжайте на природу, чтобы побыть в тишине и покое.
В-третьих, старайтесь грамотно питаться и не забывайте об эндорфине исеротонине – гормоне радости.
В-четвертых, спорт и физкультура человеку повысить свою психологическую устойчивость к стрессу.
В-пятых, если ваши желания все время идут в разрез с вашими моральными принципами, то стоит пересмотреть эти принципы, иначе ваши нереализованные желания могут привести вас к сильному неврозу.