Даны вершины треугольника АВС: A(-1;5); B(-3;-2); C(2;2).
Найти:
1)уравнение стороны ВС и ее длину.
Вектор ВС = (2-(-3); 2-(-2)) = (5; 4).
Уравнение ВС: (х + 3)/5 = (у + 2)/4 каноническое или
4х – 5у + 2 = 0 в общем виде.
2)уравнение медианы BD и ее длину.
Находим координаты точки D как середины стороны АС.
D = (A(-1;5) + C(2;2)) / 2 = (0,5; 3,5).
Вектор ВD = (0,5-(-3); 3,5-(-2)) = (3,5; 5,5).
Уравнение ВD: (х + 3)/3,5 = (у + 2)/5,5 или в целых числах
(х + 3)/7 = (у + 2)/11,
11x -7y + 19 = 0 в общем виде.
3)уравнение высоты AK.
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
(x – xo)/A = (y – yo)/B
Найдем уравнение высоты через вершину A к стороне ВС.
(x – (-1))/4 = (y – 5)/(-5),
y = (-5/4)x + (15/4) или 5x + 4y - 15 = 0.
4) точку пересечения медианы BD и высоты AK.
Решаем систему.
{11x -7y + 19 = 0 (x4) = 44x -28y + 76 = 0
{5x + 4y - 15 = 0 (x7) = 35x + 28y – 105 = 0
79x - 29 = 0,
x = 29/79 ≈ 0,36709,
y = (-5/4)*(29/79) + (15/4) = 1040/316 = 260/79 ≈ 3,2911.
Найдена точка F((29/79; (260/79)).
5) угол А в треугольнике АВС с вершинами A(-1;5); B(-3;-2); C(2;2).
Находим векторы АВ и АС.
Вектор АВ = (-3-(-1); -2-5) = (-2; -7), модуль равен √(4+49) = √53.
Вектор АС = (2-(-1); 2-5) = (3; -3), модуль равен √(9+9) = 3√2.
Находим косинус угла A = (АВ_АС):
cos A = (-2*3 + (-7)*(-3)/( √53*3√2) = 15/(3√106) = 5√106/106 ≈ 0,48564,
угол А = arccos(5√106/106) = 1,0637 радиан или 60,9454 градуса.
Борын-борын заманда булган икән, ди, бер кеше. Бу кеше нең исеме Нарый булган, ди.
Көннәрдән беркөнне Нарый чыгып киткән, ди, юлга. Бара да бара, ди, бу. Бара торгач барып кергән, ди, бу ялтырап торган боз өстенә. Боз өстенә барып керүе булган, аягы таеп, әйләнеп төшүе булган.
— Боз, син нидән болай көчле?
— Көчле булсам,— ди Боз,— мине Кояш эретә алмас иде, — ди.
— Кояш, син нидән көчле? — ди Нарый.
— Көчле булсам, мине Болыт капламас иде.
— Болыт, син нидән көчле?
— Көчле булсам, мине Яңгыр тишеп чыкмас иде.
— Яңгыр, син нидән көчле?
— Көчле булсам,— ди Яңгыр,— мине Җир сеңдермәс иде.
— Җир, син нидән көчле?
— Көчле булсам, мине Үлән тишеп чыкмас иде.
— Үлән, син нидән көчле?
— Көчле булсам, мине Сыер ашамас иде.
— Сыер, син нидән көчле?
— Көчле булсам, мине Пычак кисмәс иде. Хәзер Пычактан сорый инде Нарый:
— Пычак, син нидән көчле?
— Көчле булсам, мине Ут эретмәс иде.
— Ут, син нидән көчле?
— Көчле булсам, мине Су сүндермәс иде.
— Су, син нидән көчле?
— Көчле булсам, мине кеше җиңмәс иде, ә ул мине җиңә, тегермәннәр әйләндерергә җигә! — ди Су.
Шуннан соң Нарый, кешедән дә көчле нәрсә юк икән дип, үз юлына китә, шуның белән әкият тә бетә.
