Question

На продолжении стороны ас треугольника авс отмечена точка м.известно, что см=2ас,угол сва=15º и угол сав=45º.найдите угол амвварианты ответа: а)60º; б)65º; в)70º; г)72º; д)75º

Answer 1

Исходя из того, что в любом треугольнике сумма углов равна   $180^o \ ,$   легко понять, что   $\angle BCA = 120^o \ .$

Для любого треугольника верно, что отношение любой его стороны к синусу противолежащего угла – постоянно, тогда:

[1]    $\frac{AB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{CB}{ \sin{ 45^o } } \ ;$

Проведём   $CN \$   так, чтобы   $\angle BCN = 45^o \ .$

Тогда   $\angle CNB = 120^o \ .$

Опять же из соотношения синусов:

[2]    $\frac{CB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{NB}{ \sin{ 45^o } } \ ;$

Перемножим выражения [1] и [2]:

$\frac{AB}{ \sin{ 120^o } } \cdot \frac{CB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{CB}{ \sin{ 45^o } } \cdot \frac{NB}{ \sin{ 45^o } } \ ;$

$\frac{AB}{ \sin^2{ 120^o } } = \frac{NB}{ \sin^2{ 45^o } } \ ;$

[3]   $AB \sin^2{ 45^o } = NB \sin^2{ 120^o } \ ;$

Учитывая, что:   $\sin{ 120^o } = \sin{ 60^o } = \frac{ \sqrt{3} }{2} \$   и   $\sin{ 45^o } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \ ,$   а значит:

$\sin^2{ 120^o } = \frac{3}{4} \$   и   $\sin{ 45^o } = \frac{1}{2} \ ,$   получим из выражения [3] :

$AB \cdot \frac{1}{2} = NB \frac{3}{4} \ ;$

$AB = NB \frac{3}{2} \ ;$

$NB = \frac{2}{3} AB \ ;$

Это как раз и позволит разрешить поставленный вопрос.

$NA = \frac{1}{3} AB \ ;$

т.е.: NA : NB = 1 : 2 = CA : CM .

По Теореме Фалеса, пропорциональные отрезки на сторонах треугольника отсекаются параллельными прямыми, а значит:

$MB || CN \ ;$

$\angle M = \angle NCA = 180^o - 60^o - 45^o = 75^o \ ;$

О т в е т :  (Д)     $75^o \ .$