1. наливаешь воду в 16-литровое ведро и переливаешь всё в 15-литровое. остается 1 литр. затем выливаешь всё из 15-литрового и выливаешь в него 1 литр, который оставался в 16 литровом.2. потом снова набираешь 16-литровое ведро и переливаешь всё в 15-литровое. сейчас в 16-литровом осталось 2 литра воды (ведь в 15-литровом ведре уже есть 1 литр воды). выливаешь из 15-литрового всё и заливаешь туда 2 литра из 16-литрового.3. повторяешь так ещё несколько раз, пока не накопится 8 литров.
Ясно, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что других решений нет.
Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при делении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при делении на 3. Действительно, пусть a=3k+1, тогда a²=9k²+6k+1, если a=3k+2, то a²=9k²+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма двух чисел с остатком 1 при делении на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невозможен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем . Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.
Таким образом, уравнение имеет решение лишь при четных n. Следовательно, оно имеет 515 решений, меньших 1031.
Таня собрала-12365+896453=908818 (Ябл.)
Таня и Маша собрали всего-12365+908818=921183(Яб)
ответ:921183 яблок всего собрали Таня и Маша.