Question

Основание пирамиды-ромб со стороной 14 см и острым углом 60 градусов. двугранные углы при основании пирамиды равны 45 градусов. вычислите объём пирамиды.

Answer 1

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V=\dfrac{1}{3}S_{\tt o}\cdot h$, где $S_{\tt o}$ - площадь основания; h - высота пирамиды.

Площадь основания равна $S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot \sin60^\circ=98\sqrt{3}$ см², с другой стороны она равна $S_{ABCD}=AD\cdot h_1$,где $h_1$ - высота ромба ABCD

Приравнивая площади, получим $98\sqrt{3}=14h_1$ откуда $h_1=7\sqrt{3}$ см

Высота ромба является диаметром вписанной окружности, тогда радиус вписанной окружности равен: $r=OE=\dfrac{h_1}{2}=\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$ см

В прямоугольном треугольнике SOE углы OSE и SEO равны, следовательно ΔSOE - равнобедренный прямоугольный треугольник ⇒ $OE=SO=\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$ см

Объём пирамиды: $V=\dfrac{1}{3}\cdot 98\sqrt{3}\cdot\dfrac{7\sqrt{3}}{2}=343$ см³