Пошаговое объяснение:
Решая задачи по теории вероятностей, мы постоянно используем одну и ту же формулу, которая одновременно является классическим определением вероятности:
где k — число благоприятных исходов, n — общее число исходов (см. «Тест по теории вероятностей»).
И эта формула прекрасно работает до тех пор, пока задачи были легкими, а числа, стоящие в числителе и знаменателе — очевидными.
Однако последние пробные экзамены показали, что в настоящем ЕГЭ по математике могут встречаться значительно более сложные конструкции. Отыскание значений n и k становится проблематичным. В таком случае на приходит комбинаторика. Ее законы работают там, где искомые значения не выводятся непосредственно из текста задачи.
В сегодняшнем уроке не будет строгих формулировок и длинных теорем — они слишком сложны и, к тому же, совершенно бесполезны для решения настоящих задач B6. Вместо этого мы рассмотрим простые правила и разберем конкретные задачи, которые действительно встречаются на ЕГЭ. Итак, поехали!
Число сочетаний и факториалы
Пусть имеется n объектов (карандашей, конфет, бутылок водки — чего угодно), из которых требуется выбрать ровно k различных объектов. Тогда количество вариантов такого выбора называется числом сочетаний
Обозначение:
Выражение n! читается как «эн-факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до nвключительно: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.
Кроме того, в математике по определению считают, что 0! = 1 —подобный бред редко, но все же встречается в задачах по теории вероятностей.
Что дает нам эта формула? На самом деле, без нее не решается практически ни одна серьезная задача.
К сожалению, в школе совершенно не умеют работать с факториалами. Кроме того, в формуле числа сочетаний очень легко запутаться: где стоит и что обозначает число n, а где — k. Поэтому для начала просто запомните: меньшее число всегда стоит сверху — точно так же, как и в формуле определения вероятности (вероятность никогда не бывает больше единицы).
Для лучшего понимания разберем несколько простейших комбинаторных задач:
Задача. У бармена есть 6 сортов зеленого чая. Для проведения чайной церемонии требуется подать зеленый чай ровно 3 различных сортов. Сколькими бармен может выполнить заказ?
Тут все просто: есть n = 6 сортов, из которых надо выбрать k = 3 сорта. Число сочетаний можно найти по формуле:
Задача. В группе из 20 студентов надо выбрать 2 представителей для выступления на конференции. Сколькими можно это сделать?
Опять же, всего у нас есть n = 20 студентов, а выбрать надо k = 2 студента. Находим число сочетаний:
Обратите внимание: красным цветом отмечены множители, входящие в разные факториалы. Эти множители можно безболезненно сократить и тем самым значительно уменьшить общий объем вычислений.
Задача. На склад завезли 17 серверов с различными дефектами, которые стоят в 2 раза дешевле нормальных серверов. Директор купил в школу 14 таких серверов, а сэкономленные деньги своровал и купил дочке шубу из меха соболя за 200 000 рублей. Сколькими директор может выбрать бракованные серверы?
В задаче довольно много лишних данных, которые могут сбить с толку. Наиболее важные факты: всего есть n = 17серверов, а директору надо k = 14серверов. Считаем число сочетаний:
y(x) = x³/3 - 5x² +30x - 8 ; y = 5x +3
y ' (x) = ( x³ - 5x² +30x - 8) ' = x² - 10x + 30
Угловой коэффициент касательной к графику в точке x =x₀
y ' (x₀) = tgα = k
По условию касательная параллельно прямой y = 5x +3
прямые y = k₁x +b₁ и y = k₂x +b₂ параллельны , если k₁ = k₂
x₀² - 10x₀ + 30 = 5 ⇔ x₀² - 10x₀ + 25 =0 ⇔ (x₀ - 5)²=0 ⇒ x₀ =5
y (x₀) =y (5)= 5³/3 - 5*5² +30*5 -8 = - (2/3)*5³ +30*5 - 8=176/3 ≈ 58 ,7 .
* * * = -(2/3)*125 +150 - 8 = - 250/3 +142 = (426 -250)/3 =176/3 =58 ,(6) * * * .
ответ : (5 ; 58 ,7)
