Question

Интегрирование по частям тема,{ln(1+2x^)dx? заранее

Answer 1

$\int ln(1+2x^2)dx=\\\\=[\, u=ln(1+2x^2)\; ,\; du=\frac{4x}{1+2x^2}dx\; ,\; dv=dx\; ,\; v=x\, ]=\\\\=uv-\int v\cdot du=x\cdot ln(1+2x^2)-\int \frac{4x^2}{2x^2+1} dx=\\\\=x\cdot ln(1+2x^2)-2\cdot \int \frac{(2x^2+1)-1}{2x^2+1} dx=x\cdot ln(1+2x^2)-\\\\-2\cdot \int (1-\frac{1}{2x^2+1})dx=x\cdot ln(1+2x^2)-2\cdot \int dx+\\\\+2\cdot\frac{1}\sqrt2}\cdot \int \frac{\sqrt2dx}{(\sqrt2x)^2+1}=[\, t=\sqrt2x\; ,\; dx=\sqrt2dt\, ]=\\\\=x\cdot ln(1+2x^2)-2x+\sqrt2\cdot \int \frac{dt}{t^2+1}=$

$=x\cdot ln(1+2x^2)-2x+\sqrt2\cdot arctgt+C=\\\\=x\cdot ln(1+2x^2)-2x+\sqrt2\cdot arctg(\sqrt2x)+C$