Question

Найти частное решение дифференциального уравнения: в ответе записать:

Answer 1

Возведём всё в квадрат:

$f'^2_x (y) = 17 - y^2 \ ;$

$f'^2_x (y) + y^2 = 17 \ ;$

Очевидное решение:

$y = \psi (x) = \sqrt{17} \sin{ ( x - \varphi_o ) } \ ,$

поскольку:

$y^2 = 17 \sin^2{ ( x - \varphi_o ) } \ ,$

$f'_x (y(x)) = y'_x (x) = \psi'_x (x) = \sqrt{17} \cos{ ( x - \varphi_o ) } \ ,$

$f'^2_x (y(x)) = 17 \cos^2{ ( x - \varphi_o ) } \ ,$

а стало быть, действительно:    $f'^2_x (y) + y^2 = 17 \ ;$

Найдём    $\varphi_o \ .$

$\psi (x=0) = \sqrt{17} \sin{ ( 0 - \varphi_o ) } = -1 \ ;$

$\sin{ \varphi_o } = \frac{1}{ \sqrt{17} } \ ;$

$\cos{ \varphi_o } = \sqrt{ 1 - ( \frac{1}{ \sqrt{17} } )^2 } = \sqrt{ 1 - \frac{1}{17} } = \sqrt{ \frac{16}{17} } = \frac{4}{ \sqrt{17} } \ ;$

$\cos{ \varphi_o } = \frac{4}{ \sqrt{17} } \ ;$

$tg{ \varphi_o } = \frac{ \sin{ \varphi_o } }{ \cos{ \varphi_o } } = \frac{1}{4} \ ;$

$\varphi_o = arctg{ \frac{1}{4} } \ ;$

$y = \psi (x) = \sqrt{17} \sin{ ( x - \varphi_o ) } = \sqrt{17} ( \sin{x} \cos{ \varphi_o } - \sin{ \varphi_o } \cos{x} ) = \\\\ = \sqrt{17} ( \frac{4}{ \sqrt{17} } \sin{x} - \frac{1}{ \sqrt{17} } \cos{x} ) = 4 \sin{x} - \cos{x} \ ;$

$y = \psi (x) = 4 \sin{x} - \cos{x} \ ;$

$y'_x = \psi'_x (x) = 4 \cos{x} + \sin{x} \ ;$

$\left\{\begin{array}{l} \cos{ ( x - \varphi_o ) } \geq 0 \ ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f'_x (y(x)) = \sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ , \\ \cos{ ( x - \varphi_o ) } < 0 \ ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f'_x (y(x)) = -\sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ ; \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} x - \varphi_o \in [ -\frac{ \pi }{2} + 2 \pi n ; \frac{ \pi }{2} + 2 \pi n ] \ , n \in Z \ ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f'_x (y(x)) = \sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ , \\ x - \varphi_o \in ( \frac{ \pi }{2} + 2 \pi n ; \frac{3}{2} \pi + 2 \pi n ) \ , n \in Z ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f'_x (y(x)) = -\sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ ; \end{array}\right$

$\left\{\begin{array}{l} x \in [ -\frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ; \frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ] \ , n \in Z \ ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f'_x (y(x)) = \sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ , \\ x \in ( \frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ; \frac{3}{2} \pi + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ) \ , n \in Z ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f'_x (y(x)) = -\sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ ; \end{array}\right$

$f'_x (y,x) = \left\{\begin{array}{l} x \in [ -\frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ; \frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ] \ , n \in Z \ ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ = \sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ , \\ x \in ( \frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ; \frac{3}{2} \pi + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n ) \ , n \in Z \ ; \ \ \ \Rightarrow \ \ \ = -\sqrt{ 17 - y^2 (x) } \ ; \end{array}\right \$

О т в е т :

$y = \psi (x) = 4 \sin{x} - \cos{x} \ ;$

$y'_x = \psi'_x (x) = 4 \cos{x} + \sin{x} \ ;$

$y'_x = f'_x ( y ) = \xi \cdot \sqrt{ 17 - y^2 } \ ,$    или:

$y'_x = f'_x ( \ 4 \sin{x} - \cos{x} \ ) = \xi \cdot \sqrt{ 17 - ( 4 \sin{x} - \cos{x} )^2 } \ ,$    где:

$\xi = \left\{\begin{array}{l} x \in [ \ -\frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n \ ; \ \frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n \ ] \ , n \in Z \ ; \ \Rightarrow \ \ = 1 \ , \\\\ x \in ( \ \frac{ \pi }{2} + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n \ ; \ \frac{3}{2} \pi + arctg{ \frac{1}{4} } + 2 \pi n \ ) \ , n \in Z \ ; \ \Rightarrow \ \ = -1 \ ; \end{array}\right \$

или короче:    $\xi = sign( \cos{ ( x - arctg{ \frac{1}{4} } ) } ) \ .$