10.5. Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
Теорема 3. Если функции y1 = f1(x) и y2 = f2(x) заданы в окрестности точки x0 принадлежит R, а в самой точке x0 имеют конечные производные, то функции lamda1 f1(x) +lamda2 f2(x), lamda1 принадлежит R, lamda1 принадлежит R, f1(x)f2(x), а в случае f2(x0)не равно0 и функции f1(x)/f2(x) также имеют в точке x0 конечные производные; при этом имеют место формулы
(lamda1 y1 +lamda2 y2)' = lamda1 y'1 +lamda2 y'2, (10.21)
(y1y2)' = y'1y2 + y1y'2, (10.22)
(10.23)
(в формулах (10.21)-(10.23) значения всех функций взяты при x = x0).
Прежде всего заметим, что в силу условий теоремы в точке x0 существуют конечные пределы
(дельтаy1/дельтаx) = y'1, (дельтаy2/дельтаx) = y'2.
Докажем теперь последовательно формулы (10.21)-(10.23).
1) Пусть y = lamda1 y1 +lamda2 y2; тогда
дельта y = (lamda1( y1 + дельтаy1) + lamda2( y2 + дельтаy2)) - (lamda1y1 + lamda2y2) = lamda1дельтаy1 + lamda2дельтаy2
и, следовательно,
дельтаy1/дельтаx = lamda1дельтаy1/дельтаx + lamda2дельтаy2/дельтаx.
Перейдя здесь к пределу при дельтаx0, получим формулу (10.21).
2) Пусть y2 = y1y2; тогда
дельта y = ( y1 + дельтаy1)( y2 + дельтаy2)) - y1y2 = y2y1 + y2дельтаy1 + y1дельтаy2 + дельтаy1дельтаy2,
откуда
дельтаy1/дельтаx = y2дельтаy1/дельтаx + y1дельтаy2/дельтаx. (10.24)
Заметив, что в силу непрерывности функции f2 в точке x0 выполняется условие дельтаy2 = 0, и, перейдя в равенстве (10.24) к пределу при дельтаx0, получим формулу (10.22).
3. Пусть f2(x0)не равно0, и y = y1/y2; тогда
следовательно,
Перейдя здесь к пределу при дельтаx0, получим формулу (10.23). начало
Отметим, что из формулы (10.21) при y2 = 0 (так же, как и из формулы (10.22), когда функция y2 равна постоянной, а поэтому y'2 = 0) следует, что постоянную можно выносить из-под знака дифференцирования, т. е.
(lamday)' = lamday', lamda принадлежит R.
Пример. Вычислим производную функции tg x. Применяя формулу (10.23), получим
Итак,
(tg x)' = 1/cos2x.
Аналогично вычисляется
(ctg x)' = -1/sin2x.
Замечание. Поскольку dx = y'dx, то, умножая формулы (10.21)-(10.23) на dx, получим
d(lamda1 y1 +lamda2 y2) = lamda1dy1 +lamda2 dy',
d(y1y2) = y2dy1 + y1dy2,
1) - неверно, так как если бы каждый ученик посещал оба кружка, то в каждом кружке было бы по 20 человек, а это не так.
2) - неверно, так как на историю ходит 13 человек, а на математику 10, то есть минимум 3 ученика ходят на кружок истории, но не посещают математику (может и больше, но минимум - 3).
3) - верно, так как больше половины класса задействованы на кружке истории и половина - на кружке математики. То есть, даже если все 20 человек посещают эти кружки, то хотя бы трое их них всё равно окажутся и там, и там.
4) - верно, так как математику посещают только 10 человек.
То есть, правильными оказываются утверждения
2 Физическая сущность процесса резания
3 1 проходной прямой правый; 2 проходной упорный правый; 3 подрезной левый; 4 подрезной; 5 проходной отогнутый правый; 6 отрезной; 7 фасонный; 8 подрезной правый; 9 резьбовой (для наружной резьбы); 10 расточный упорный (в борштанге); 11 расточный (в борштанге); 12 расточный; 13 расточный для внутренней резьбы. Токарные резцы:
4 В процессе резания инструмент находится в контакте с обрабатываемой поверхностью заготовки и в то же время в движении относительно ее. При обработке точением резец совершает поступательное движение подачи s относительно вращающейся со скоростью v заготовки. В зоне резания на режущую кромку резца действует сила резания R, разложив которую по трем взаимно-перпендикулярным направлениям, получим три составляющие силы: Px – осевую силу или усилие подачи, Py – радиальную силу, Pz – тангенциальную (касательную) силу.
5 На рис. показана схема обработки наружной цилиндрической поверхности на токарном станке с установкой детали 5 в инструментальных центрах 4, 7; передний центр 4 установлен в шпинделе 1 станка, а задний 7в пиноли 6 задней бабки станка. Рабочая скорость вращения (скорость резания) сообщается детали 5 шпинделем станка, через планшайбу 2 и поводковый хомутик 3. Механизмом подачи станка сообщается поступательное перемещение резцу 8 со скоростью подачи s.
6 Операционные эскизы типовых токарных операций обработки деталей. Установочные базы обозначены условными знаками (зачерненными треугольниками). Цифрами 1, 2 на рис. обозначены обрабатываемые поверхности.
9 Типовым режущим инструментом для сверлильных работ является спиральное сверло. На рис. показана конструкция спирального сверла с цилиндрическим хвостовиком для сверления отверстий малых диаметров. Основные элементы режущей части спирального сверла: 4 и 3 главные режущие кромки; 2 задняя поверхность; 1 передняя поверхность; 5 поперечная режущая кромка; γ п передний угол угол между касательной в точке А сечения NN к передней поверхности и нормалью в той же точке к поверхности вращения режущей кромки;
10 Основным параметром процесса сверления является скорость резания v = πDn/1000 м/мин, где D - диаметр сверла, мм; n - частота вращения, об/мин. Скорость резания вдоль кромок сверла неодинакова и зависит от расстояния каждой точки режущей кромки от оси вращения; на диаметре D скорость резания максимальная.
14 Схема обработки плоскости на горизонтально- фрезерном станке цилиндрической фрезой ν– скорость резания вращающейся фрезой; S – подача детали; t - глубина резания; а 1, а 2, а 3 – толщина слоев, срезаемых работающими зубьями фрезы.
15 Скорость резания, м/мин, определяют по формуле где D – диаметр фрезы, мм; n – частота вращения фрезы, об/мин. Основное технологическое время при фрезеровании определяют по формуле: где L = (l + l 1 + l 2 ) - полная длина прохода фрезы, мм; l 1 - глубина врезания (для фрез цилиндрического типа определяется по чертежу: l 2 - перебег, принимаемый 2÷5 мм; s z - подача на один зуб фрезы; z - число зубьев фрезы.
16 Типы фрез и виды формообразующих операций Цилиндрическая фреза Торцевая фреза Представленные фрезы применяют для обработки плоских поверхностей
17 Различные варианты дисковых фрез Представленные фрезы применяются для обработки пазов, канавок, а также отрезки частей заготовок
18 Различные варианты фрез для обработки сложных поверхностей Концевая фреза Угловая фреза Фасонная фреза
19 Концевые фрезы
20 Схема процесса резания и геометрические элементы зубьев протяжки Основное технологическое время протягивания: где L - длина протягиваемого отверстия; l p - длина режущей части протяжки; l k - длина калибрующей части протяжки; l - длина перебега (10÷20 мм); k - коэффициент, учитывающий время обратного хода протяжки в исходное положение (k=1,15÷1,5).
21 Фасонные поверхности отверстий Наружные фасонные поверхности Схема протягивания отверстия на горизонтально-протяжном и вертикально-протяжном станках 3 -1 классы размеров 6 - 9 классы шероховатости