Question

Дана функция распределения f(x). 1) найти функцию плотности f(x). 2) проверить верность вычислений обратным действием. 3) записать обе функции с предварительно вычисленным параметром - а, и построить их графики. 4) найти вероятность попадания нсв - непрерывной случайной величины - x, в интервал от альфа до бэта.

Answer 1

$F(X)=\left\{\begin{array}{l}0\; ,\; \; \; x\leq 3\; ,\\a(x^2-3x)\; ,\; 3<x\leq 5\; ,\\1\; ,\; \; \; x5\; .\end{array}\right\\\\\\1)\; \; f(x)=F'(X)=\left\{\begin{array}{l}0\; ,\; \; \; x\leq 3\; ,\\a(2x-3)\; ,\; 3<x\leq 5\; ,\\0\; ,\; \; \; x5\; .\end{array}\right\\\\\\2)\; \; \int a\cdot (2x-3)dx=a\cdot (2\cdot \frac{x^2}{2}-3x)+C=a\cdot (x^2-3x)+C\\\\\\3)\; \; \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\; f(x)\, dx=1\; \; ,\; \; f(x)\geq 0\; \; \Rightarrow$

$\int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, f(x)\, dx=\int\limits^3_{-\infty }\; 0\, dx+\int\limits^5_3\, a\cdot (2x-3)\, dx+\int\limits^{+\infty }_5\, 0\, dx=a\cdot (x^2-3x)\Big |_3^5=\\\\=a\cdot (25-15-9+9)=10a\; ,\; \; \; 10a=1\; \; \to \; \; a=0,1\\\\\\F(X)=\left\{\begin{array}{l}0\; ,\; \; \; x\leq 3\; ,\\0,1(x^2-3x)\; ,\; 3<x\leq 5\; ,\\1\; ,\; \; \; x5\; .\end{array}\right \; \; ,\; \; f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\; ,\; \; \; x\leq 3\; ,\\0,1(2x-3)\; ,\; 3<x\leq 5\; ,\\0\; ,\; \; \; x5\; .\end{array}\right\\\\0,1(2x-3)\geq 0\; pri\; \; 3<x\leq 5$

$4)\; \; P(\; 3,3<X<4\; )=F(4)-F(3,3)=\\\\=0,1(16-12)-0,1(10,89-9,9)=0,1(4-0,99)=0,301$