Хорошо, давай я объясню тебе, как составить уравнение касательной и нормали к данной кривой в указанной точке.
Для начала, мы должны найти производную данной функции y=2x^3. Производная функции показывает нам скорость изменения функции в каждой точке. Для этого нам понадобится правило дифференцирования степенной функции.
Правило гласит, что производная степенной функции f(x) = ax^n равна произведению показателя степени на коэффициент перед x, умноженное на x в степени на единицу меньше, то есть f'(x) = n * ax^(n-1).
Применяя это правило к нашей функции y=2x^3, мы получаем производную функции y, которая будет равна y' = 3 * 2 * x^(3-1) = 6x^2.
Теперь нам нужно найти значение производной в точке x=-1. Для этого заменим x в производной на -1: y'(-1) = 6 * (-1)^2 = 6 * 1 = 6.
Значение производной 6 - это скорость изменения функции в точке x=-1. Зная скорость изменения функции в точке, мы можем найти уравнение касательной и нормали.
Уравнение касательной задается в форме y = mx + c, где m - это значение производной в данной точке, а c - это точка, в которой касательная пересекает ось ординат (y-ось). Мы уже знаем значение производной в точке x=-1, остается только найти значение функции в этой точке.
Подставим x=-1 в исходное уравнение y=2x^3: y = 2 * (-1)^3 = 2 * (-1) = -2.
Таким образом, касательная к кривой y=2x^3 в точке x=-1 будет иметь уравнение y = 6x - 2.
А чтобы найти уравнение нормали, нам понадобится найти коэффициент k, который будет равен -1/m, где m - значение производной в данной точке.
Итак, k = -1/m = -1/6.
Уравнение нормали задается в форме y = kx + d, где k - это коэффициент, который мы только что нашли, а d - это точка, в которой нормаль пересекает ось ординат (y-ось).
Подставим x=-1 и y=-2 в уравнение нормали: -2 = -1/6 * (-1) + d.
Упростив это уравнение, получим -2 = 1/6 + d.
Теперь найдем значение d: -2 - 1/6 = -12/6 - 1/6 = -13/6.
Итак, уравнение нормали к кривой y=2x^3 в точке x=-1 будет иметь уравнение y = -1/6 * x - 13/6.
Вот и ответ. У нас получилось уравнение касательной: y = 6x - 2 и уравнение нормали: y = -1/6 * x - 13/6.
Для начала, мы должны найти производную данной функции y=2x^3. Производная функции показывает нам скорость изменения функции в каждой точке. Для этого нам понадобится правило дифференцирования степенной функции.
Правило гласит, что производная степенной функции f(x) = ax^n равна произведению показателя степени на коэффициент перед x, умноженное на x в степени на единицу меньше, то есть f'(x) = n * ax^(n-1).
Применяя это правило к нашей функции y=2x^3, мы получаем производную функции y, которая будет равна y' = 3 * 2 * x^(3-1) = 6x^2.
Теперь нам нужно найти значение производной в точке x=-1. Для этого заменим x в производной на -1: y'(-1) = 6 * (-1)^2 = 6 * 1 = 6.
Значение производной 6 - это скорость изменения функции в точке x=-1. Зная скорость изменения функции в точке, мы можем найти уравнение касательной и нормали.
Уравнение касательной задается в форме y = mx + c, где m - это значение производной в данной точке, а c - это точка, в которой касательная пересекает ось ординат (y-ось). Мы уже знаем значение производной в точке x=-1, остается только найти значение функции в этой точке.
Подставим x=-1 в исходное уравнение y=2x^3: y = 2 * (-1)^3 = 2 * (-1) = -2.
Таким образом, касательная к кривой y=2x^3 в точке x=-1 будет иметь уравнение y = 6x - 2.
А чтобы найти уравнение нормали, нам понадобится найти коэффициент k, который будет равен -1/m, где m - значение производной в данной точке.
Итак, k = -1/m = -1/6.
Уравнение нормали задается в форме y = kx + d, где k - это коэффициент, который мы только что нашли, а d - это точка, в которой нормаль пересекает ось ординат (y-ось).
Подставим x=-1 и y=-2 в уравнение нормали: -2 = -1/6 * (-1) + d.
Упростив это уравнение, получим -2 = 1/6 + d.
Теперь найдем значение d: -2 - 1/6 = -12/6 - 1/6 = -13/6.
Итак, уравнение нормали к кривой y=2x^3 в точке x=-1 будет иметь уравнение y = -1/6 * x - 13/6.
Вот и ответ. У нас получилось уравнение касательной: y = 6x - 2 и уравнение нормали: y = -1/6 * x - 13/6.