Question

Интеграл от ((1-sqrtx)/(1+sqrt^3x))dx p.s в знаменателе корень третьей степени от x

Answer 1

$\int \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}} dx=[x=t^6,\; dx=6t^5\, dt,\; \sqrt{x}=t^3,\; \sqrt[3]{x}=t^2]=\\\\=6\cdot \int \frac{1-t^3}{1+t^2} \cdot t^5\, dt=-6\cdot \int \frac{t^8-t^5}{t^2+1}dt=\\\\=-6\cdot \int (t^6-t^4-t^3+t^2+t-1+ \frac{-t+1}{t^2+1} )dt=\\\\=-6(\frac{t^7}{7}-\frac{t^5}{5}-\frac{t^4}{4}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}-t)+6\cdot \frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+1}-6\int \frac{dt}{t^2+1}=\\\\=-6\cdot (\frac{t^7}{7}-\frac{t^5}{5}-\frac{t^4}{4}+\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}-t)+3\cdot ln(t^2+1)-$

$-6arctg \, t+C\; ,\; \; gde\; \; t=\sqrt[6]{x}\; .$