Question

Провести полное исследование функции и построить ее график : y=x^3-4x^2+3x 1)область определения 2)честность, нечетность 3)промежутки монотонности 4)точки пересечения с осями 5)асимптоты 6)интервалы впуклости и выпуклости

Answer 1

1) Обл. опред. (-беск.; +беск.)
2) ни четная, ни нечетная, т.к. f(-x)!=f(x), != - знак "не равен"
3) найдем первую производную:
y' = 3x^2 - 8x +3 приравняем к нулю и решим уравнение
3x^2 - 8x +3 = 0
D=(-8)^2 - 4*3*3=64-36=28
x1 = (8 + корень(28))/2*3 (примерно равно 2.22)
x2 = (8 - корень(28))/2*3 (примерно равно 0.452)
в точках x1 и x2 - функция сменяет свою монотонность, т.е. это точки экстремума.
Подставим в первую производную значение 0(левый интервал монотонности) f'(0)=3
Подставим в первую производную значение 1(средний интервал монотонности) f'(1)=-2
Подставим в первую производную значение 3(правый интервал монотонности) f'(3)=6
т.е. функция возрастает на (-беск.; 8 - корень(28))/2*3)U(8 + корень(28))/2*3; +беск.), а убывает на (-беск.; 8 - корень(28))/2*3; 8 + корень(28))/2*3; +беск.)
4)Точки пересечения с осями: приравняем функцию к нулю:
x^3-4x^2+3x=0
x(x^2 - 4x +3)=0
x=0 или x^2 - 4x +3=0
D= (-4)^2 - 4*1*3=4
x1 = (4 - 2)/2=1
x2 = (4+2)/2=3
x=0, x=1, x=3 - точки пересечения с осью ОХ.
Чтобы найти точки пересечения с осью ОУ, подставим в функцию вместо х нули:
f(0)=0^3-4*0^2+3*0=0
y=0 точка пересечения с осью ОУ.
5) Асимптот нет т.к. пределы при х-->+-беск. равны +-беск.
6) найдем вторую производную:
y''= 6x - 8
6х-8=0
x=8/6=4/3 - точка перегиба
найдем f''(1) = -2(левый интервал)
найдем f''(2) = 4(правый интервал)
видим что на этом интервале возрастание сменяется убыванием, значет, x=4/3 - точка выпуклости