щей формулой: =.
2). В нашем примере: d=(-1)·2–(-5)·4 = 18.
ответ: d=18.
Пример В–03: Вычислить определитель 2-го порядка: d=.
1). Воспользуемся общей формулой: =.
2). В нашем примере: d=(a+b)·(a+b)–(a–b)·(a–b) =.
ответ: d =.
☻
Замечание: формальное применение правила вычисления определителей 2-го порядка не вызывает никаких затруднений!
Определители 3-го порядка.Определителем 3-го порядка называют число, представленное в виде специальнойконструкции: =, которой ставят в соответствие число, определяемое суммой, составленной из шести слагаемых (членов определителя):
=++–––. (2)
Говорят, что правая часть выражения (2) определяет правило его вычисления определителя 3-го порядка. Соответствие, представленное выражением (2), легко запоминается, если использовать геометрическую схему составления членов определителя:
Рассмотрим несколько примеров вычисления определителей 3-го порядка, использующих в качестве своих элементов числа, или некоторые аналитические выражения.
Пример В–04: Вычислить определитель 3-го порядка: =.
Вычислим определитель, применяя правило (2) и учитывая принятые обозначения:
=++–––, или:
==100.
ответ: d = 100.
Пример В–05: Вычислить определитель 3-го порядка: =.
Вычислим определитель, применяя правило (2) и учитывая принятые обозначения:
=++–––, или:
==1.
ответ: d = 1.
Замечание: нетрудно заметить, что правило (1) вычисления определителя 2-го порядка запомнить значительно проще, чем правило (2) для определителей 3-го порядка!
☻
Оказывается, есть правило сведения вычисления определителя 3-го порядка к вычислению нескольких определителей 2-го порядка, а именно:
== –+, (3)
или
== –+, (4)
Обоснование правил (3) и (4) вычисления определителя 3-го порядка мы получим в теории определителей — го порядка.
Замечание: правило (3) называют: вычисление определителя разложением по первой строке, а правило (4): разложение по первому столбцу.
Рассмотрим несколько примеров вычисления определителей 3-го порядка, использующих в качестве своих элементов числа, или некоторые аналитические выражения.
Пример В–06: Вычислить определитель 3-го порядка: d=.
Вычислим определитель тремя сначала применим правило (2), затем правило (3) и правило (4).
В соответствии с определением определителя 3-го порядка:
=++–––, или:
=100.
В соответствии с правилом (3) вычислим определитель 3-го порядка разложением по 1-й строке:
== –+, или
=100.
В соответствии с правилом (4) вычислим определитель 3-го порядка разложением по первому столбцу:
== –+, или
=100.
ответ: d = 100.
Примеры на тему: Разложение определителя 2-го и 3-го порядка.Набор обобщающих Примеров соответствует требованиям «Семестрового плана» при изучении темы: «Общие сведения» для аналитической геометрии. Эти Примеры предназначены закрепить навыки вычисления определителей 2-го и 3-го порядков по принятым без доказательства правилам.
☻
Пример 1–5: Вычислить определитель: =.
1). Воспользуемся свойством определителя: если строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
2). В нашем случае: .
ответ: d =0.
Пример 2–8: Вычислить определитель: =.
1). Воспользуемся общей формулой вычисления: d==.
2). В нашем случае: d=·–·==–2.
ответ: d =0.
Пример 3–43: Вычислить определитель: =.
Вычислим определитель тремя сначала применим правило (2), затем правило (3) и правило (4).
В соответствии с определением определителя 3-го порядка:
=40.
В соответствии с правилом (3) вычислим определитель 3-го порядка разложением по 1-й строке:
==–+, или
=40.
В соответствии с правилом (4) вычислим определитель 3-го порядка разложением по первому столбцу:
==–+, или
=40.
ответ: d = 40.
☻
Вопросы для самопроверки:
Как измеряют длину отрезка в геометрии, если доступны только рациональные числа?Почему в геометрии потребовались иррациональные числа?Можно ли измерить гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, если катеты равны 1, а числа используются только рациональные?Что такое вещественные числа?Что такое определитель 2-го порядка, как его вычисляют?Что такое определитель 3-го порядка, как его вычисляют?Задачи для самоподготовки:
Пример 1–9: Вычислить определитель: =.
ответ: d =1.
Пример 2–17: Вычислить определитель: .
ответ: d =1.
Пример 14–47: Вычислить определитель: =.
ответ: d =0.
Пример 15–57: Вычислить определитель: =.
ответ: d =.
Пример 16–61: Вычислить определитель: =.
ответ: d =.
