Перепишем уравнения в цилиндрической системе координат: (x, y, z) меняются на (r, φ, z) по формулам x = r cos(φ - arctg 3/4), y = r sin(φ - arctg 3/4) – арктангенс возник из соображений удобства, чтобы третье уравнение выглядело поприличнее. Откуда отсчитывать углы, для нас не принципиально.
Первое уравнение:
Второе уравнение не меняется.
Третье уравнение:
Итак, уравнения поверхностей, ограничивающих тело, выписаны выше: r = 2, z = 1, z = 12 - 5r sin φ. Тело, которое они ограничивают, изображено на приложенном рисунке: это часть цилиндра, вырезанная двумя плоскостями.
Сформулируем условия в виде неравенств. 1 ≤ z ≤ 12 - 5r sin φ 0 ≤ φ ≤ 2π 0 ≤ r ≤ 2
Осталось вспомнить, что элемент объёма в цилиндрических координатах есть dV = r dr dφ dz, и вычислить интеграл:
ответ: 44π.
________________________________________
Для самопроверки получим этот ответ без интеграла. Самая нижняя точка, в которой наклонная плоскость пересекает цилиндр, это z = 12 - 5 * 2 = 2, самая высокая – z = 12 + 5 * 2 = 22. Тогда объём равен сумме объёма цилиндра с высотой 2 - 1 = 1 и половины объёма цилиндра с высотой 22 - 2 = 20. V = S * (h1 + h2 / 2) = 4π * (1 + 10) = 44π
Как все живые существа, человек для поддержания жизни нуждается в пище, воде, сне. Подобно всем животным, он старится и умирает. Эти черты сходства, как говорится, «лежат на поверхности». Но есть и другие, быть может, не столь очевидные.Строение тела человека во многом сходно со строением тела других животных. Сравнивая между собой скелет или отдельные органы, выполняющие одни и те же функции (например, пищеварения или дыхания), ученые находят множество совпадений. Конечно, больше всего таких совпадений с близкородственными животными (особенно обезьянами, все кто видели обезьяну, сразу это подмечают). Но даже в том случае, когда мы начинаем сопоставлять организм человека с организмом такого непохожего на него существа, как рыба, быстро обнаруживается много общих черт (у рыб, как и у людей, есть позвоночник, сердце, желудок, нервная система и т.п.). О родстве человека с другими животными свидетельствует наличие у него, так называемых, рудиментарных органов, то есть таких органов, которые утратили свое значение в процессе эволюции. Их насчитывают несколько десятков. Например, изучая строение копчика - нижнего отдела человеческого позвоночника, состоящего из нескольких сросшихся позвонков, можно заключить, что у далеких предков человека когда-то был хвост. На теле человека множество мелких редких волосков – это остатки густой шерсти наших предков. Слепая кишка человека имеет небольшой отросток – аппендикс, который не участвует в процессе пищеварения. Но у многих травоядных животных – это важнейший отдел кишечника. О чем это говорит? Правильно! Наши далекие предки были травоядными. Но когда древние люди перешли на мясную пищу, надобность в аппендиксе отпала, и он в конце концов превратился в рудиментарный орган. Можно при желании найти и другие примеры, говорящие о том, что человек вышел из мира животных и по-прежнему имеет с ними много общего.
8-3=5 - синей краски
8+5=13 - Купили для ремонта