Question

Найдите все значения а при каждом из которых уравнение x^6+(5a-8x)^3+3x^2-24x=-15a имеет более одного корня

Answer 1

Найдите все значения а при каждом из которых уравнение имеет более одного корня
$x^6+(5a-8x)^3+3x^2-24x=-15a$

Перегруппируем члены исходного уравнения

$x^6+3x^2 = - (5a-8x)^3 + 24x -15a \\ \\ (x^2)^3 + 3*x^2 = (8x-5a)^3 +3*(8x -5a)$

Выражения в левой и правой части однотипны.

Введем функцию $f(t) = t^3+3*t$

Тогда уравнение можно переписать 
$f( x^{2}) = f(8x-5a)$

Исследуем функцию  $f(t)$
$f'(t) = (t^3+3*t)' = 3t^2+3 \ , \ \ f'(t) \ \textgreater \ 0$ - для любого t, $t \in R$

Функция $f(t)$ строго возрастает на всей числовой оси. Следовательно
$f(t_1) = f(t_2) \ \Rightarrow \ t_1 = t_2$
или
$x^{2} = (8x-5a) \\ \\ x^{2} - 8x + 5a = 0$

Полученное квадратно уравнение имеет более одного корня, когда  его дискриминант больше нуля

$D = (-8)^2 - 4 * 1 * 5a \ \textgreater \ 0 \\ \\ - 20a \ \textgreater \ 64 \\ \\ a \ \textless \ 3,2$

ответ: $a \ \textless \ 3,2$