Question

Докажите, что число n^3-n делится на 24 если n нечётный

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Представим в виде : n*(n+1)*(n-1). Это число  -произведение 3-х последовательных чисел. Значит оно делится на 3.

Пусть n - нечетное и равно 2м+1.

Тогда выражение принимает вид n*(2м+2)*2м=4*n*(м+1)*м,

т.е. оно делится на 4. Итак число делится на 12. Но из пары (м+1) и (м) одно обязательно четное. Значит число делится на 24. Что и требуется.

Answer 2

Вначале заметим, что:

$n^3-n=n(n^2-1)$

Докажем, что нечетное число в квадрате всегда дает остаток 1 при делении на 8 (поэтому, если отнять 1, то получится число, делящееся на 8):  

$(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4(n^2+n)+1$

Данное число (если отнять 1) делится на 4 по разложению и еще на 2, так как n²+n по-любому четное (нечет. + нечет. = чет.). И: 4*2=8.

То есть, второй множитель, и, тогда, само число делится на 8. И нужно доказать, что оно еще должно делиться на 3.

1. Если n кратно трем, то задача решена: один множитель кратен 3, и, тогда, само произведение.

2. n не делится на 3. Докажем, что квадрат числа (если оно не делится на 3 и имеет остатки либо 1, либо 2) всегда дает остаток 1 при делении на 3 (и если от него отнять 1, то получится число, делящееся на 3):

$1. (3n+1)^2=9n^2+6n+1=3(3n^2+2n)+1.\\2.(3n+2)^2=9n^2+12n+4=9n^2+12n+3+1=3(3n^2+4n+1)+1$

Итого: если число делится и на 3, и на 8, то оно делится на 3*8=24, что и требовалось доказать!