Question

Решить 2 примера! 1) ∫(вверху п/3, внизу 0) * sinxdx/3-cosx 2)∫(вверху 4, внизу 0) * 3е^x3*x^2dx

Answer 1

$1)\quad \int\limits^{\frac{\pi}{3}}_0 {\frac{sinx\, dx}{3-cosx}} =[t=3-cosx\; ,\; dt=sinx\, dx\; ,\\\\ t_1=3-cos0=3-1=2\; ,\; t_2=3-cos\frac{\pi}{3}=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}]=\\\\=\int _2^{\frac{5}{2}}\frac{dt}{t}=ln|t|\; |_2^{\frac{5}{2}}=ln\frac{5}{2}-ln2=ln\frac{5}{4}$

$2)\quad \int _0^4\; 3e^{x^3}\cdot x^2\, dx=\\\\=[t=x^3,\; dx=3x^2\, dx,\; t_1=0^3=0\; ,\; t_2=4^3=64]=\\\\=\int _0^{64}e^{t}\, dt=e^{t}\; |_0^{64}=e^{64}-1$